Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} \geq \frac{3}{2}
\]

với điều kiện \( a + b + c = 3 \) và \( a, b, c > 0 \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

**Bước 1:** Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trên ba vế:

\[
\left( \frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} \right) \left( (1+ab) + (1+bc) + (1+ca) \right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9
\]

**Bước 2:** Tính tổng bên phải:

\[
(1 + ab) + (1 + bc) + (1 + ca) = 3 + (ab + bc + ca).
\]

**Bước 3:** Thay vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
\left( \frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} \right) (3 + ab + bc + ca) \geq 9.
\]

**Bước 4:** Ta cần chứng minh:

\[
3 + ab + bc + ca \leq 6 \quad \text{hay} \quad ab + bc + ca \leq 3.
\]

**Bước 5:** Sử dụng bất đẳng thức AM-GM trên các số dương:

\[
\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \Rightarrow 1 \geq \sqrt[3]{abc} \Rightarrow abc \leq 1.
\]

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
ab + bc + ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{3^2}{3} = 3.
\]

**Kết luận:**

Từ ba bước trên, ta chứng minh được:

\[
\frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} \geq \frac{3}{2}.
\]

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh.