Cho đường tròn tâm O đường kính CD = 2R. Từ một điểm E trên đường tròn vẽ tiếp tuyến xy (E khác C và D). Kẻ DA và CB vuông góc với xy tại A và B

Để chứng minh các điểm trên, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học phẳng và đường tròn.

### 1) Chứng minh rằng: EA = EB và AD + BC = 2R.

#### Chứng minh EA = EB:
- Xét đường tròn tâm O và đường kính CD = 2R. Do đó, bán kính OC = OD = R.
- Điểm E nằm trên đường tròn, vì vậy OE = R.
- Từ E, vẽ tiếp tuyến xy, vì xy là tiếp tuyến, nên góc giữa OD (bán kính) và EA (tiếp tuyến tại A) là góc vuông. Tương tự, góc giữa OC và EB cũng là góc vuông.
- Trong tam giác vuông OEA và tam giác OEB, ta có:
- OA = OB (Vì A, B thuộc đường tròn cùng bán kính R)
- OE là cạnh huyền của cả hai tam giác.
- Theo định lý Pythagore:
\[
EA^2 + OA^2 = OE^2
\]
\[
EB^2 + OB^2 = OE^2
\]
- Vì OA = OB, nên EA^2 = EB^2. Do đó, EA = EB.

#### Chứng minh AD + BC = 2R:
- Ta có AD vuông góc với xy tại A và BC vuông góc với xy tại B.
- Xét tam giác OAD và OBC, vì AD và BC đều vuông góc với xy, nên OA = OB. Và chúng có độ dài bằng bán kính R.
- Gọi OA = x, AD = y, OB = x, BC = z. Ta có:
\[
OA^2 = OE^2 - EA^2
\]
\[
x^2 + y^2 = R^2
\]
\[
x^2 + z^2 = R^2
\]
- Vì vậy:
\[
y + z = 2R - OA - OA = 2R - 2x
\]
- Từ đó, ta thấy rằng:
\[
AD + BC = y + z = 2R.
\]

### 2) Chứng minh rằng: CD là tiếp tuyến của đường tròn (E) đường kính AB.

- Đường tròn (E) có tâm là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi M là trung điểm của AB.
- Theo đặc tính của đường tròn, từ trung điểm M, vẽ đường thẳng đi qua O (tâm đường tròn CD) sẽ vuông góc với đoạn thẳng AB.
- Ta đã biết rằng OA = OB và EA = EB (và A, B đều ở phía cùng bên đường thẳng xy).
- Do đó, O nằm trên đường thẳng ME, bởi vì M là trung điểm của AB và đường thẳng ME cũng là đường kính của đường tròn đi qua A và B.
- Vì CD là đường kính của đường tròn O, nên nó cắt đường tròn (E) chính xác tại hai điểm A và B. Theo định nghĩa của tiếp tuyến, CD vuông góc với OM tại trung điểm M.

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (E) có đường kính AB.

Kết luận:
- EA = EB
- AD + BC = 2R
- CD là tiếp tuyến của đường tròn (E) đường kính AB.