Cho a; b; c là ba số dương thỏa mãn: \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{a}{b^2 + c^2} + \frac{b}{c^2 + a^2} + \frac{c}{a^2 + b^2} \) với điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
P = \frac{a^2}{a(b^2+c^2)} + \frac{b^2}{b(c^2+a^2)} + \frac{c^2}{c(a^2+b^2)} \geq \frac{(a+b+c)^2}{ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2}
\]

Vì \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), ta cần tìm mối quan hệ giữa \( a, b, c \) và áp dụng điều kiện này.

Để đơn giản hóa bài toán, xét trường hợp khi \( a = b = c \). Khi đó từ điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), ta có:

\[
3a^2 = 1 \Rightarrow a = b = c = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = 3 \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}
\]

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là:

\[
\boxed{\frac{3\sqrt{3}}{2}}
\]