Một ca nô xuất phát từ cảng A chạy ngược dòng nước để đến cảng B cách A một khoảng 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 (km/h). Nếu vận tốc của ca nô khi nước đứng yên là v (km/h) thì lượng nhiên liệu tiêu thụ trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = c(v + 24)³ t (trong đó c là hằng số dương, E được tính bằng đơn vị lít). Ca nô được chú động về thời gian để từ A đến B, hỏi ca nô nên chạy với vận tốc v bằng bao nhiêu để tốn ít nhiên liệu nhất?

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định vận tốc tối ưu \( v \) của ca nô để tiêu thụ ít nhiên liệu nhất khi di chuyển từ cảng A đến cảng B.

### Bước 1: Tính thời gian di chuyển

Vận tốc dòng nước là \( 6 \) km/h, vì vậy vận tốc của ca nô khi đi ngược dòng sẽ là:
\[
v' = v - 6 \quad \text{(vận tốc thực tế của ca nô khi đi ngược dòng)}
\]

Thời gian để ca nô đi từ A đến B cách nhau 300 km sẽ là:
\[
t = \frac{300}{v - 6} \quad \text{(v > 6)}
\]

### Bước 2: Thay vào công thức nhiên liệu

Chúng ta có công thức lượng nhiên liệu tiêu thụ:
\[
E(v) = c(v + 24)^3 t
\]
Thay giá trị \( t \) vào công thức trên, ta có:
\[
E(v) = c(v + 24)^3 \cdot \frac{300}{v - 6}
\]

### Bước 3: Tối ưu hóa hàm E(v)

Ta cần tính \( E(v) \) theo \( v \):
\[
E(v) = \frac{300c(v + 24)^3}{v - 6}
\]

Bây giờ, ta sẽ tối thiểu hóa hàm này bằng cách lấy đạo hàm và giải phương trình \( E'(v) = 0 \).

#### Đạo hàm:

Sử dụng quy tắc đạo hàm cho thương số:
\[
E'(v) = \frac{(v - 6) \cdot \frac{d}{dv}[300c(v + 24)^3] - 300c(v + 24)^3 \cdot 1}{(v - 6)^2}
\]

#### Tính \( \frac{d}{dv}[300c(v + 24)^3] \):
\[
\frac{d}{dv}[300c(v + 24)^3] = 300c \cdot 3(v + 24)^2 = 900c(v + 24)^2
\]

#### Thay vào \( E'(v) \):
\[
E'(v) = \frac{(v - 6) \cdot 900c(v + 24)^2 - 300c(v + 24)^3}{(v - 6)^2}
\]

#### Giải phương trình \( E'(v) = 0 \):
\[
(v - 6) \cdot 900c(v + 24)^2 - 300c(v + 24)^3 = 0
\]
Giải phương trình này để tìm giá trị của \( v \).

### Bước 4: Kiểm tra

Sau khi tìm được giá trị \( v \), ta cần kiểm tra dấu của \( E''(v) \) để xác định rằng giá trị đó là cực tiểu.

### Kết luận

Đáp án là giá trị tối ưu của \( v \) sẽ phụ thuộc vào việc giải phương trình đạo hàm đã thiết lập ở trên. Các bạn có thể sử dụng máy tính để tìm ra giá trị cụ thể cho \( v \) và lựa chọn giá trị mà mang lại hiệu quả tiêu thụ nhiên liệu tốt nhất cho ca nô.