Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( p + 2 \) cũng là số nguyên tố và \( \frac{p}{4} \) cũng là số nguyên tố, ta sẽ phân tích từng điều kiện trong các bước sau:

1. **Điều kiện 1: \( p + 2 \) là số nguyên tố.**

Nghĩa là nếu \( p \) là số nguyên tố thì \( p + 2 \) cũng phải là số nguyên tố. Ta có thể thử các số nguyên tố nhỏ:

- Nếu \( p = 2 \): \( p + 2 = 4 \), không phải là số nguyên tố.
- Nếu \( p = 3 \): \( p + 2 = 5 \), là số nguyên tố.
- Nếu \( p = 5 \): \( p + 2 = 7 \), là số nguyên tố.
- Nếu \( p = 7 \): \( p + 2 = 9 \), không phải là số nguyên tố.
- Nếu \( p = 11 \): \( p + 2 = 13 \), là số nguyên tố.
- Nếu \( p = 13 \): \( p + 2 = 15 \), không phải là số nguyên tố.
- Nếu \( p = 17 \): \( p + 2 = 19 \), là số nguyên tố.
- Nếu \( p = 19 \): \( p + 2 = 21 \), không phải là số nguyên tố.

Từ đây, ta có một số số nguyên tố như \( p = 3, 5, 11, 17 \) thỏa mãn điều kiện thứ nhất.

2. **Điều kiện 2: \( \frac{p}{4} \) là số nguyên tố.**

Điều này có nghĩa là \( p \) phải có dạng \( 4k \) với \( k \) là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( p = 4 \) là một số nguyên tố (nhưng 4 không phải là số nguyên tố), do đó không có số nguyên tố nào \( p \) mà \(\frac{p}{4}\) cũng là số nguyên tố.

Tóm lại, không có số nguyên tố nào \( p \) sao cho cả hai điều kiện đều thỏa mãn.