Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( \frac{p}{2} \) và \( \frac{p}{4} \) cũng là số nguyên tố, ta cần xem xét điều kiện với số nguyên tố \( p \).

Giả sử \( p \) là một số nguyên tố. Khi đó, \( \frac{p}{2} \) và \( \frac{p}{4} \) sẽ là số nguyên khi \( p \) là số chẵn, nhưng số nguyên tố duy nhất chẵn là 2. Ta kiểm tra trường hợp này:

1. **Nếu \( p = 2 \)**:
- \( \frac{p}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) (không phải số nguyên tố).
- \( \frac{p}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \) (không phải số nguyên).

Vậy \( p \) không thể là 2.

2. **Nếu \( p \) là số nguyên tố lẻ** (các số nguyên tố từ 3 trở lên):
- Khi đó, \( \frac{p}{2} \) và \( \frac{p}{4} \) sẽ không phải là số nguyên. Cụ thể, \( \frac{p}{2} \) sẽ là số không nguyên (vì \( p \) là số lẻ, chia cho 2 sẽ ra phần số lẻ) và tương tự \( \frac{p}{4} \).

Từ đó, ta có thể rút ra kết luận: Không tồn tại số nguyên tố nào \( p \) mà cả \( \frac{p}{2} \) và \( \frac{p}{4} \) đều là số nguyên tố, vì:

- \( p = 2 \) không thoả mãn yêu cầu về tính nguyên tố của \( \frac{p}{2} \) và \( \frac{p}{4} \).
- Các số nguyên tố lẻ đều không cho ra được các giá trị nguyên cho \( \frac{p}{2} \) và \( \frac{p}{4} \).

Vậy không có số nguyên tố nào thỏa mãn yêu cầu đã cho.