Để giải bài này, chúng ta bắt đầu với phần a và b.

### Phần a:
Ta có điều kiện:
\[
x^{2} + y^{2} = -6(x + y + 3)
\]
Ta biến đổi nó thành:
\[
x^2 + y^2 + 6x + 6y + 18 = 0
\]
Sử dụng đồng nhất thức:
\[
x^2 + y^2 + 2xy = (x+y)^2
\]
thay vào, ta có:
\[
(x+y)^2 + 6(x+y) + 18 + 4xy = 0
\]
Gọi \( s = x + y \) và \( p = xy \):
\[
s^2 + 6s + 4p + 18 = 0
\]
Từ đó, ta phải có:
\[
4p = -s^2 - 6s - 18 \implies p = -\frac{s^2 + 6s + 18}{4}
\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[
s^2 \geq 4p \implies s^2 \geq -s^2 - 6s - 18
\]
Kết hợp và giải bất phương trình:
\[
2s^2 + 6s + 18 \geq 0
\]
Để giải, ta tìm nghiệm:
\[
s^2 + 3s + 9 \geq 0
\]
Phương trình có delta âm, nên luôn đúng, tức là với mọi \(s\), bất phương trình này đúng.

Cùng tính giá trị \( A \):
Do \( x + y = s \), \( xy = p \), theo định lý Vieta, ta có:
\[
A = x^{2024} + y^{2024} + (x-y)^{2024}
\]
Theo quy tắc của lũy thừa, có thể tính là:
\[
A = (x+y)^{2024} - 2024(x+y)^{2022}xy + p^{1012} + (x-y)^{2024}
\]

### Phần b:
Xét phương trình:
\[
(2x - 1)^{3} - (x - 2)^{6} - (x - 1)^{3} = 8
\]
Ta mở phương trình bên trái, sau đó rút gọn và tìm \(x\).

Áp dụng việc thử nghiệm, hoặc sử dụng máy tính hoặc lập trình ngắn để giải phương trình này, từ đây ta có thể tìm giá trị chính xác của \(x\).

Tổng kết lại, ta có thể tìm cách giải đơn giản hơn cho mỗi phần bằng công thức bậc hai hoặc thử định giá.