Để xét tính đúng sai của các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta sẽ khảo sát dãy số được định nghĩa bởi công thức \( u_n = \frac{-1 - 2n}{n + 2} \) với \( n \in \mathbb{N} \).

1. **Mệnh đề a**: Hai số hạng đầu lần lượt là \( u_1 = -1 \); \( u_2 = -1.25 \).
- Tính \( u_1 \):
\[
u_1 = \frac{-1 - 2 \cdot 1}{1 + 2} = \frac{-1 - 2}{3} = \frac{-3}{3} = -1.
\]
- Tính \( u_2 \):
\[
u_2 = \frac{-1 - 2 \cdot 2}{2 + 2} = \frac{-1 - 4}{4} = \frac{-5}{4} = -1.25.
\]
- **Kết luận**: Mệnh đề a đúng.

2. **Mệnh đề b**: \( u_{n+1} < u_n \) với mọi \( n \geq 1 \).
- Tính \( u_{n+1} \) và so sánh với \( u_n \):
\[
u_{n+1} = \frac{-1 - 2(n+1)}{(n+1) + 2} = \frac{-1 - 2n - 2}{n + 3} = \frac{-3 - 2n}{n + 3},
\]
\[
u_n = \frac{-1 - 2n}{n + 2}.
\]
- So sánh \( u_{n+1} \) với \( u_n \):
\[
u_{n+1} - u_n = \frac{-3 - 2n}{n + 3} - \frac{-1 - 2n}{n + 2}.
\]
- Sau khi rút gọn, ta thấy \( u_{n+1} < u_n \).
- **Kết luận**: Mệnh đề b đúng.

3. **Mệnh đề c**: Dãy số \( (u_n) \) bị chặn cả dưới và trên.
- Tính giới hạn \( u_n \) khi \( n \) tiến tới vô cùng:
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-1 - 2n}{n + 2} = -2.
\]
- Dãy số không bị chặn phía trên và chặn dưới bởi -2 và không đạt giá trị lớn hơn.
- **Kết luận**: Mệnh đề c sai.

4. **Mệnh đề d**: Dãy số \( (u_n) \) có hai số hạng nguyên.
- Tính số hạng nguyên bằng cách giải phương trình:
\[
\frac{-1 - 2n}{n + 2} \text{ là nguyên}.
\]
- Thử các giá trị \( n \) nhỏ (từ 1 tới 10), chỉ khi \( n = 1 \) và \( n = 2 \), \( u_n \) có giá trị nguyên.
- **Kết luận**: Mệnh đề d đúng nhưng không đảm bảo dãy có hai số hạng nguyên khác nhau.

Tóm tắt:
- Mệnh đề a: Đúng.
- Mệnh đề b: Đúng.
- Mệnh đề c: Sai.
- Mệnh đề d: Kết quả có thể chưa hoàn toàn xác định.