Để rút gọn biểu thức \( A \) và tính giá trị tại \( x = 3 \), ta làm theo các bước sau:

### Bài 3:
Cho \( A = \frac{1}{2 + \sqrt{x}} + \frac{1}{2 - \sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x}}{4 - x} \)

a) **Rút gọn biểu thức \( A \)**:
1. Rút gọn hai phân thức đầu tiên:
\[
A_1 = \frac{1}{2 + \sqrt{x}} + \frac{1}{2 - \sqrt{x}} = \frac{(2-\sqrt{x}) + (2+\sqrt{x})}{(2+\sqrt{x})(2-\sqrt{x})}
\]
\[
= \frac{4}{4 - x}
\]

Vậy
\[
A_1 = \frac{4}{4 - x}
\]

2. Cộng với phân thức thứ ba:
\[
A = \frac{4}{4 - x} + \frac{2\sqrt{x}}{4 - x} = \frac{4 + 2\sqrt{x}}{4 - x}
\]

b) **Tính giá trị của \( A \) tại \( x = 3 \)**:
\[
A(3) = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4 - 3} = 4 + 2\sqrt{3}
\]

c) **Tìm \( x \) sao cho \( A \) nhận giá trị là một số nguyên**:
Ta cần \( 4 + 2\sqrt{x} \) chia hết cho \( 4 - x \). Để \( A \) là số nguyên, \( \sqrt{x} \) phải là số nguyên, tức là \( x = k^2 \) với \( k \) là số nguyên.

Giải:
\[
4 + 2k = k^2
\]
\[
k^2 - 2k - 4 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 + 4 \times 4 = 20
\]
\( k = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} \)

Từ đó ta tìm các giá trị của \( k \) mà làm cho \( k^2 \) là một số nguyên.

### Bài 4:
Cho \( A = \frac{\sqrt{x+4}}{2 + \sqrt{x}} \) và \( B = \frac{\sqrt{x}{\sqrt{x+4}} + \frac{4}{\sqrt{x-4}} \cdot - \frac{x + 16}{2\sqrt{x}}} \)

a) **Rút gọn \( B \)**:
Vì biểu thức \( B \) khá phức tạp, ta sẽ cần thực hiện các phép toán để tìm cách rút gọn.

Tuy nhiên, ta sẽ tập trung vào tìm kiếm giá trị nguyên trong \( M = B(A - 1) \).

b) **Tìm \( x \) sao cho \( M = B(A - 1) \) là một số nguyên**:
Cá nhân hóa các mẫu số và tìm điều kiện chia hết trong biểu thức.

### Kết luận:
Các thao tác cụ thể sẽ giúp có được giá trị cuối cùng cho các giá trị \( A, B \). Cần thực hiện giải từng bước một để đảm bảo tính chính xác trong phép toán và tìm ra điều kiện cho các giá trị nguyên.