Xét các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a+b+c+2(ab+bc+ca) = 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có điều kiện \( a + b + c + 2(ab + ac + bc) = 9 \).

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

\[
P = a^2 + b^2 + c^2.
\]

Sử dụng công thức liên quan đến biến đổi giữa các tổng bình phương, ta có:

\[
P = (a+b+c)^2 - 2(ab + ac + bc).
\]

Gọi \( S = a + b + c \) và \( T = ab + ac + bc \). Thay vào điều kiện, ta có:

\[
S + 2T = 9 \implies T = \frac{9 - S}{2}.
\]

Thay vào công thức tính \( P \):

\[
P = S^2 - 2T = S^2 - 2\left(\frac{9 - S}{2}\right) = S^2 - (9 - S) = S^2 + S - 9.
\]

Giờ đây, nhiệm vụ của chúng ta là tìm giá trị cực trị của hàm số \( P(S) = S^2 + S - 9 \).

Hàm bậc hai này có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a > 0 \). Giá trị cực tiểu xảy ra ở đỉnh của parabol, tại \( S = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} \).

Tuy nhiên, \( S \) (thuộc \( a + b + c \)) cần đạt giá trị không âm, do đó, chúng ta cần tìm giới hạn cho \( S \).

Từ \( S + 2T = 9 \), và vì \( a, b, c \geq 0 \), ta thấy rằng \( ab + ac + bc \geq 0 \), suy ra

\[
S \leq 9.
\]

Tìm giá trị của \( P \) tại các điểm cực trị trong miền hợp lệ của \( S \):

1. Tại \( S = 0 \):
\[
P(0) = 0^2 + 0 - 9 = -9.
\]

2. Tại \( S = 9 \):
\[
P(9) = 9^2 + 9 - 9 = 81.
\]

Kiểm tra giá trị trung gian:

Hàm bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất tại \( S = 0 \) nên tại \( S = 0 \) (khi \( a = 0, b = 0, c = 0\)) thì \( P \) đạt giá trị min là \(-9\).

Khi \( S = 9 \) tức có \( a = 3, b = 3, c = 3 \) thỏa mãn điều kiện:

\[
P(9) = 81.
\]

Cuối cùng, giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \( P \):

\[
\text{Giá trị nhỏ nhất của } P = -9,
\]
\[
\text{Giá trị lớn nhất của } P = 81.
\]

Vậy ta có:

- Giá trị nhỏ nhất là -9.
- Giá trị lớn nhất là 81.