Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O' bán kính R' cắt nhau tại AB. Chứng minh OO' là đường trung trực của AB

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh OO' là đường trung trực của AB.

1. **Giả thiết**: Ta có hai đường tròn: đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O' bán kính R' cắt nhau tại hai điểm A và B.

2. **Chứng minh**:
- Gọi M là trung điểm của đoạn AB.
- Theo định nghĩa, nếu A và B nằm trên hai đường tròn khác nhau, chúng sẽ cùng cách trung điểm M một khoảng bằng nhau.
- Xét đoạn thẳng OA và OB. Ta có:
- \( OA = OB \) (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn tâm O)
- \( O'A = O'B \) (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn tâm O')
- Do đó, từ tính chất đường trung trực của đoạn AB, ta có:
- OM ⊥ AB.
- O'M ⊥ AB.
- Như vậy, ta có \( OM = O'M \) và \( OA = O'B \).
- Kết luận: OO' là đường trung trực của đoạn AB.

### b) Kẻ đường kính AOC và AO'D. Chứng minh B, C, D thẳng hàng.

1. **Giả thiết**: C là điểm thứ ba nằm trên đường tròn tâm O đi qua A, và D là điểm thứ ba nằm trên đường tròn tâm O' đi qua A.

2. **Chứng minh**:
- Khi kẻ đường kính AOC, ta có:
- Đoạn thẳng OC sẽ đi qua O và vuông góc với đoạn AB tại M.
- Tương tự, kẻ đường kính AO'D, ta cũng có O'D vuông góc với AB tại M.
- Khi đó, từ tính chất đường tròn, điểm B nằm trên AB sẽ tạo với B và C trên đường tròn O ra một tam giác vuông tại C, và điểm D cũng có tính chất tương tự với O'.
- Hai đoạn OC và OD đều vuông góc với AB, do đó B, C, D đều nằm trên một đường thẳng.

### Kết luận

Ta đã chứng minh xong cả hai kết luận:
- OO' là đường trung trực của AB.
- B, C, D thẳng hàng.