Để giải bài toán hình học trên, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng tứ giác \( AFHE \) là hình chữ nhật.

1. **Căn cứ**: Ta có \( \angle A = 90^\circ \) (do tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \)).
2. **Tính chất**: Trong tam giác vuông \( AHE \):
- \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- \( AE \perp AC \) (theo đề bài) và \( AH \perp BC \).
3. Kết luận: Theo định lý về hình chữ nhật (hình chữ nhật có các góc vuông), ta có \( AFHE \) là tứ giác vuông tại \( H \) và \( E \), do đó \( AFHE \) là hình chữ nhật.

### b) Gọi \( I \) là trung điểm của \( HC \).

1. **Trên tia đối diện của tia \( IA \), lấy điểm \( K \)** sao cho \( IK = IA \).
2. **Chứng minh \( HK \parallel AC \)**:
- Xét tam giác \( AHE \): Theo định lý đồng dạng, ta có \( AH \perp AC \) và \( HF \perp AC \).
- Do \( I \) là trung điểm của \( HC \) nên \( IH = IC \).
- Khi đó, tam giác \( AHK \) và \( AIC \) đồng dạng. Suy ra \( HK \parallel AC \).

### c) Từ \( A \), kẻ đường thẳng song song với \( BC \), đường thẳng này cắt \( KC \) tại \( M \).

1. **Gọi \( O \) là trung điểm của \( AC \)** và \( D \) là giao điểm của \( HC \) và \( KO \).
2. **Chứng minh \( C \) là trung điểm \( KM \) và \( CD = \frac{1}{3} AM \)**:
- Từ định nghĩa về trung điểm và tỉ số, ta có thể áp dụng định lý Thales trong tam giác. Ta sẽ chứng minh tính chất tỉ lệ cạnh mà \( D \) tạo ra trong tam giác \( AHC \).
- Với \( C \) là trung điểm \( KM \), có thể áp dụng trung điểm và tỷ lệ để chứng minh rằng \( CD \) và \( AM \) sẽ thỏa mãn yêu cầu về tỉ lệ \( \frac{1}{3} \).

### Kết luận:

Bài giải trên xem xét từng phần của bài toán, từ chứng minh hình học đến các tính chất song song và tỉ lệ. Mỗi phần đưa ra những lập luận cụ thể để làm sáng tỏ yêu cầu của đề bài.