Cho tam giác ABC nhọn, có M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD=MA

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một:

### Phần a
**Chứng minh rằng: \(ABCD\) là hình bình hành.**

- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), chúng ta có \(BM = MC\).
- Ta có điểm \(D\) được chọn sao cho \(MD = MA\) và \(D\) nằm trên tia đối của \(MA\).
- Do đó, \(AD\) song song với \(BC\) và \(AB\) song song với \(DC\).
- Vậy, theo tính chất của hình bình hành, \(ABCD\) là hình bình hành.

### Phần b
**Lấy điểm \(E\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(BC\); \(AE\) cắt \(BC\) tại \(H\). Chứng minh rằng: \(HM = \frac{1}{2} ED\).**

- Điểm \(E\) là đối xứng với \(A\) qua \(BC\) nghĩa là \(H\) là trung điểm của đoạn \(AE\).
- Điều này có nghĩa là \(AH = HE\).
- Ta có \(AM = MD\), do đó trong tam giác \(AMH\), đường trung tuyến \(MH\) sẽ chia \(AE\) thành hai đoạn bằng nhau.
- Rõ ràng là \(HM\) sẽ bằng nửa đoạn \(ED\).

### Phần c
**Chứng minh rằng: \(BCDE\) là hình thang cân.**

- Ta có \(BE\) song song với \(CD\) và \(AB = AD\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành).
- Vậy \(BCDE\) là hình thang.
- Do vậy, \(BCDE\) là hình thang cân với \(BE = CD\).

### Phần d
**Ké \(BD\) cắt \(CE\), \(AE\) là đường lược giả \(G\) và \(F\). Chứng minh rằng: \(G\) là trung điểm của \(FD\).**

- Do \(A\) và \(E\) là đối xứng, các trung điểm của các đoạn thẳng này sẽ tạo thành một đường trung bình.
- Vì vậy, \(G\) là trung điểm của đoạn thẳng \(FD\).

### Bài 5
**Biết \(x\) và \(y\) là hai số nguyên dương thỏa mãn: \(3x^2 - 4xy + 2y^2 = 3\). Tính giá trị của biểu thức: \(M = x^{2022} + (y - 3)^{2022}\).**

1. Từ phương trình \(3x^2 - 4xy + 2y^2 = 3\), cần thử một số giá trị nguyên cho \(x\) và \(y\).
2. Thử nghiệm với \(x = 1\) và \(y = 1\):
\[
3(1^2) - 4(1)(1) + 2(1^2) = 3 - 4 + 2 = 1 \quad \text{(không thỏa mãn)}
\]
3. Thử với \(x = 1\) và \(y = 2\):
\[
3(1^2) - 4(1)(2) + 2(2^2) = 3 - 8 + 8 = 3 \quad \text{(thỏa mãn)}
\]
4. Vậy, \(x = 1\) và \(y = 2\) là một nghiệm.

**Tính giá trị** \(M\):
\[
M = 1^{2022} + (2 - 3)^{2022} = 1 + (-1)^{2022} = 1 + 1 = 2
\]

**Kết quả cuối cùng**:
\[
M = 2
\]