Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm S lớn nhất

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[
S = \frac{1}{2}ab + ac + 3 + \frac{1}{2}ac + bc + 3 + \frac{1}{2}bc + ab + 3
\]

cho các số thực dương \( a, b, c \) sao cho \( abc = 1 \), trước tiên chúng ta có thể gộp các hạng tử trong \( S \):

\[
S = \frac{1}{2}(ab + ac + bc) + (ac + ab + bc) + 9
\]
\[
= \frac{3}{2}(ab + ac + bc) + 9
\]

Vì \( abc = 1 \), theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{ab + ac + bc}{3} \geq \sqrt[3]{(abc)^2} = \sqrt[3]{1^2} = 1
\]

Từ đó, ta suy ra:

\[
ab + ac + bc \geq 3
\]

Thay vào \( S \):

\[
S \leq \frac{3}{2} \cdot 3 + 9 = \frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2} + \frac{18}{2} = \frac{27}{2}
\]

Do đó, giá trị lớn nhất của \( S \) là:

\[
S_{\text{max}} = \frac{27}{2}
\]

Giá trị này đạt được khi \( a = b = c = 1 \), vì khi đó \( abc = 1 \) và \( ab + ac + bc = 3 \).

Vậy, giá trị lớn nhất của \( S \) là \( \frac{27}{2} \) khi \( a = b = c = 1 \).