Cho ∆ đều ABC. Từ điểm O trong tam giác kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở D, kẻ đường thẳng song song với AB cắt CB ở E, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F. Chứng minh tứ giác ADOF là hình thang cân

Để chứng minh rằng tứ giác ADOF là hình thang cân, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đều và các đường thẳng song song.

1. **Đặc điểm của tam giác đều**: Trong tam giác đều ABC, các cạnh đều có độ dài bằng nhau và các góc cũng bằng nhau: \( \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ \).

2. **Đặt các điểm**: Gọi \( OD \parallel BC \), \( OE \parallel AB \), và \( OF \parallel AC \).

3. **Chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau**:
- \( OD \parallel BC\) và \( OF \parallel AC \) tạo ra hai cặp góc đồng vị:
- \( \angle AOD = \angle OBC \) và \( \angle AOF = \angle OAC \).
- Tương tự, cho \( OE \parallel AB \) và \( OF \parallel AC \):
- \( \angle AOE = \angle OAB \) và \( \angle AOF = \angle OAC \).

4. **Hình thang cân**: Để chứng minh tứ giác ADOF là hình thang cân, chúng ta sẽ chứng minh rằng hai cạnh song song AD và OF có cùng độ dài, và DO và AF cũng có cùng độ dài:
- Cạnh \( \overline{AD} \) và \( \overline{OF} \) là các cạnh của hình thang với hai cặp góc đồng vị lần lượt bằng nhau sau khi kẻ các đường song song.
- Ta có:
\[
\angle OAD = \angle OAF, \quad \text{ từ đó } OD \parallel BC \text{ và } OF \parallel AC.
\]
- Tương tự cho các cặp góc khác.

5. **Kết luận**:
- Khi mà các góc và các cạnh \( \overline{AD} \) và \( \overline{OF} \) bằng nhau, tứ giác ADOF sẽ có hai cạnh đối diện song song và bằng nhau, chứng tỏ rằng ADOF là hình thang cân.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác ADOF là hình thang cân.