Rút gọn các biểu thức sau: \(\sqrt{\frac{x}{9}} - \sqrt{16x - x} - \frac{4}{3} \sqrt{x^3} \quad \text{với } x > 0\)

Để rút gọn biểu thức \(\sqrt{\frac{x}{9}} - \sqrt{16x - x} - \frac{4}{3} \sqrt{x^3}\) với \(x > 0\), ta thực hiện như sau:

### Bước 1: Rút gọn từng thành phần

1. **Rút gọn \(\sqrt{\frac{x}{9}}\)**:
\[
\sqrt{\frac{x}{9}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{x}}{3}
\]

2. **Rút gọn \(\sqrt{16x - x}\)**:
\[
\sqrt{16x - x} = \sqrt{15x}
\]

3. **Rút gọn \(\frac{4}{3} \sqrt{x^3}\)**:
\[
\frac{4}{3} \sqrt{x^3} = \frac{4}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} x \sqrt{x}
\]

### Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu

Biểu thức ban đầu trở thành:
\[
\frac{\sqrt{x}}{3} - \sqrt{15x} - \frac{4}{3} x \sqrt{x}
\]

### Bước 3: Đưa về cùng mẫu

Ta viết lại biểu thức với \(\sqrt{x}\):
\[
\frac{\sqrt{x}}{3} - \sqrt{15x} - \frac{4}{3} x \sqrt{x} = \frac{\sqrt{x}}{3} - \sqrt{15} \sqrt{x} - \frac{4}{3} x \sqrt{x}
\]

Gọi \(y = \sqrt{x}\), khi đó ta có:
\[
\frac{y}{3} - \sqrt{15} y - \frac{4}{3} y^2
\]

### Bước 4: Sắp xếp và nhóm lại

\[
= -\frac{4}{3} y^2 + \left(\frac{1}{3} - \sqrt{15}\right) y
\]

### Bước 5: Biểu thức rút gọn

Cuối cùng, biểu thức rút gọn là:
\[
-\frac{4}{3} \sqrt{x}^2 + \left(\frac{1}{3} - \sqrt{15}\right) \sqrt{x}
\]

Nếu cần tìm giá trị cụ thể, có thể thay thế \(x\) cụ thể và tính toán.