Để chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{10} \) chia hết cho 3, ta sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu
- \( r \) là tỷ số chung
- \( n \) là số hạng mà ta cần

Áp dụng vào bài toán, ta có:
- \( a = 2 \)
- \( r = 2 \)
- Số hạng cuối là \( 2^{10} \) tức là có tổng cộng 9 số hạng (từ \( 2^1 \) đến \( 2^{10} \)).

Vậy \( n = 10 \). Ta tính tổng:

\[
A = 2 \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 2(2^{10} - 1) = 2^{11} - 2
\]

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng \( A = 2^{11} - 2 \) chia hết cho 3.

Ta tính \( 2^{11} - 2 \):

- \( 2^{11} = 2048 \)
- \( 2048 - 2 = 2046 \)

Bây giờ, ta kiểm tra xem 2046 có chia hết cho 3 hay không.

Tính tổng các chữ số của 2046:
\[
2 + 0 + 4 + 6 = 12
\]

Vì 12 chia hết cho 3, nên 2046 cũng chia hết cho 3.

Từ đó, ta kết luận rằng:

\[
A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{10} \text{ chia hết cho } 3.
\]

Chứng minh hoàn tất.