Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( f(x, y) = x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x + 4y + 2025 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình.

**Bước 1: Nhóm các hạng tử với nhau.**

Biểu thức có thể được viết lại như sau:

\[
f(x, y) = x^2 + 2xy + 2y^2 + 2x + 4y + 2025
\]

**Bước 2: Hoàn thành bình cho \(x\) và \(y\).**

Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\):

\(
f(x, y) = (x^2 + 2xy + 2y^2) + (2x + 4y) + 2025
\)

Chúng ta có thể viết lại hạng tử \(x^2 + 2xy + 2y^2\):

\((x + y)^2 + y^2\)

Do đó, chúng ta có:

\[
f(x, y) = (x + y)^2 + y^2 + 2x + 4y + 2025
\]

**Bước 3: Tính toán hạng tử còn lại.**

Xét \(2x + 4y\):

Giả sử \(u = x + y\), tức là \(x = u - y\). Thay vào biểu thức ta có:

\[
f(u, y) = u^2 + y^2 + 2(u - y) + 4y + 2025
\]
\[
= u^2 + y^2 + 2u - 2y + 4y + 2025
\]
\[
= u^2 + y^2 + 2u + 2y + 2025
\]

**Bước 4: Từ đây, ta có thể tính giá trị nhỏ nhất của hàm này.**

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta có thể lấy đạo hàm riêng đối với \(u\) và \(y\) và tìm nghiệm trong hệ phương trình:

\[
\frac{\partial f}{\partial u} = 2u + 2 = 0 \implies u = -1
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2 = 0 \implies y = -1
\]

**Bước 5: Tính giá trị tối thiểu.**

Thay các giá trị \(u = -1\) và \(y = -1\) vào trong \(f(u, y)\):

Lúc này, \(x + y = -1\), tức là có thể giải ra \(x\).

Biểu thức trở thành:

\[
f(-1, -1) = (-1)^2 + (-1)^2 + 2(-1) + 2(-1) + 2025
\]
\[
= 1 + 1 - 2 - 2 + 2025 = 2023
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(f(x, y)\) là \(2023\).