Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, kẻ HE, HF vuông góc với AB, AC

Để chứng minh các bài toán trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với đường cao \( AH \), ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a: Chứng minh rằng \( HB \cdot HC = EB \cdot EA + FA \cdot FC \)

Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với đường cao \( AH \), theo định nghĩa đường cao, ta có:

\[
HB = \sqrt{AB^2 - AH^2}
\]
\[
HC = \sqrt{AC^2 - AH^2}
\]

Ta cũng có thể viết lại các đoạn thẳng \( EB, EA, FA, FC \) theo định nghĩa của các đoạn thẳng từ các điểm \( E, F \) đến \( A, B, C \).

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
HB \cdot HC = AH^2
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
AH^2 = EB \cdot EA + FA \cdot FC
\]

Vì ta đã có các định lý liên quan đến diện tích, chúng ta sẽ tiếp tục bằng cách sử dụng các mối quan hệ giữa các cạnh và các đoạn thẳng đã biết.

1. **Diện tích tam giác \( ABC \)** có thể tính bằng cách sử dụng đường cao:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC
\]

2. **Diện tích tam giác \( ABE \)** và \( ACF \):
\[
\frac{1}{2} \cdot AE \cdot HB = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AC
\]

3. Tương tự cho tam giác \( ACF \):
\[
\frac{1}{2} \cdot AF \cdot HC = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AB
\]

Chúng ta có thể tổng hợp lại và đưa ra sự phát sinh mối liên hệ đến HB và HC từ các công thức diện tích này.

Kết hợp tất cả lại sẽ dẫn đến điều cần chứng minh.

### Phần b: Chứng minh rằng \( (sin B + sin C)^2 = 1 + sin(AMB) \)

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông:

1. **Sử dụng tính chất của các góc:**
\[
\text{Trong tam giác vuông, } B + C = 90^\circ
\]
nên \( \sin B = \cos C \) và \( \sin C = \cos B \).

2. Từ đó:
\[
(sin B + sin C)^2 = (sin B + cos B)^2 = sin^2 B + 2sin B \cdot cos B + cos^2 B = 1 + 2sin B \cdot cos B
\]

3. Sử dụng hệ thức lượng:
\[
2sin B \cdot cos B = sin(2B)
\]

4. Ngoài ra, chúng ta biết:
\[
sin(AMB) = sin(90^\circ - A) = cos(A)
\]

5. Chúng ta có thể áp dụng công thức \( cos^2 A + sin^2 A = 1 \) để đưa về kết quả cần chứng minh.

Như vậy, kết thúc phần b là \( (sin B + sin C)^2 = 1 + sin(AMB) \).

Hy vọng câu trả lời trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách thức chứng minh trong tam giác vuông.