Để chứng minh \( A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{30} \) chia hết cho 13, trước tiên chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

Tổng \( A \) có thể được tính bằng công thức:

\[
A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{30} = 3 \cdot \frac{3^{30} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{31} - 3}{2}
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 13, tức là \( \frac{3^{31} - 3}{2} \equiv 0 \mod 13 \).

Đầu tiên, chúng ta sẽ tính \( 3^{31} \mod 13 \). Sử dụng định lý Fermat, theo đó \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \) với \( p = 13 \):

\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13
\]

Do đó, ta có:

\[
3^{31} = 3^{24} \cdot 3^7 \equiv 1^2 \cdot 3^7 \equiv 3^7 \mod 13
\]

Tiếp theo, cần tính \( 3^7 \mod 13 \):

\[
3^1 \equiv 3
\]
\[
3^2 \equiv 9
\]
\[
3^3 \equiv 27 \equiv 1 \mod 13 \quad (vì 27 - 2 \cdot 13 = 1)
\]

Sử dụng \( 3^3 \equiv 1 \), ta có:

\[
3^6 = (3^3)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \mod 13
\]
\[
3^7 = 3^6 \cdot 3^1 \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \mod 13
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
3^{31} \equiv 3 \mod 13
\]

Thay vào công thức cho \( A \):

\[
3^{31} - 3 \equiv 3 - 3 \equiv 0 \mod 13
\]

Do đó, \( A = \frac{3^{31} - 3}{2} \equiv \frac{0}{2} \equiv 0 \mod 13 \).

Vì thế, \( A \) chia hết cho 13.

Kết luận:

\( A \) chia hết cho 13.