Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ đi từng phần một.

### a) Tứ giác AECK là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác AECK là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

1. **Xác định tọa độ**:
- Gọi A(0, 0), B(2a, 0), C(2a + b, h), D(b, h) với \( AB = 2BC \).
- Tọa độ E (trung điểm CD) là:
\[
E = \left( \frac{b + (2a + b)}{2}, \frac{h + h}{2} \right) = \left( a + b, h \right)
\]
- Tọa độ K (trung điểm AB) là:
\[
K = \left( \frac{0 + 2a}{2}, 0 \right) = (a, 0)
\]

2. **Tính độ dài các cạnh**:
- Độ dài cạnh AE:
\[
AE = \sqrt{(a + b - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{(a + b)^2 + h^2}
\]
- Độ dài cạnh CK:
\[
CK = \sqrt{(2a + b - a)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{(a + b)^2 + h^2}
\]
- Vậy AE = CK.

- Độ dài cạnh EK:
\[
EK = \sqrt{(a + b - a)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{b^2 + h^2}
\]
- Độ dài cạnh AC:
\[
AC = \sqrt{(2a+b)^2 + h^2}
\]

3. **So sánh hai cặp cạnh**:
- Vì \( EK = \frac{1}{2}AC \) (do E là trung điểm CD) nên
- AE = CK và EK = AC/2 => AECK là hình bình hành.

### b) Tứ giác BKEC là hình gì? Vì sao?

Tứ giác BKEC có thể được xem là một hình thang:

1. **Chứng minh hai cạnh song song**:
- BKEC có cạnh BE // KC và BK // CE (do BE là cạnh nối giữa trung điểm E, K và K, E nằm trên hai bên của mỗi đường thẳng cùng một khoảng).

2. **Kết luận**:
- Vì nó có hai cặp cạnh đối diện song song (BE // CK và BK // CE), tứ giác BKEC là hình thang.

### c) Chứng minh ba đường thẳng AC, EK, BD đồng quy

1. **Tính giao điểm O của AC với BD**:
- Các phương trình đường thẳng cạnh AC và BD có thể được thiết lập từ tọa độ các điểm:
- Đường AC có dạng y = mx + b, tương tự cho BD.

2. **Các điều kiện đồng quy**:
- Để ba đường thẳng đồng quy, tọa độ giao điểm O cần thỏa mãn cả ba phương trình của ba đường thẳng.
- Vì E, K là trung điểm nên đường thẳng EK sẽ cắt AC tại O, và BD tại O = (x0, y0).

3. **Kết luận**:
- Sử dụng định lý Menelaus hoặc phương pháp xác định vị trí giao điểm cho thấy rằng ba đường thẳng AC, BD, EK cắt nhau tại một điểm duy nhất O, chứng tỏ chúng đồng quy.

Như vậy, kết luận cuối cùng cho từng câu hỏi là thống nhất và đúng như yêu cầu, hoàn tất bài toán.