Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm \( a \) để biểu thức này nhận giá trị nguyên, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Rút gọn biểu thức \( A \)**:

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \sqrt{\frac{\sqrt{a + 3}}{\sqrt{a - 3}} \cdot \frac{\sqrt{a - 3}}{\sqrt{a + 3}} \cdot \left(\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{a}}\right) }
\]

Ta có:
\[
A = \sqrt{\frac{(a + 3)(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)} \cdot \frac{1}{3\sqrt{a}}}
\]
Giản lược:
\[
A = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}}}
\]
\[
A = \frac{1}{\sqrt{3a}}
\]

2. **Tìm \( a \) để \( A \) nhận giá trị nguyên**:

Để \( A = \frac{1}{\sqrt{3a}} \) là một số nguyên, ta cần \( \sqrt{3a} \) là một số nguyên, tức là \( 3a = k^2 \) với \( k \) là số nguyên.

Vậy ta có:
\[
a = \frac{k^2}{3}
\]
Để \( a \) là số nguyên, \( k^2 \) phải chia hết cho 3. Điều này chỉ xảy ra khi \( k \) là bội của 3. Giả sử \( k = 3n \) với \( n \) là số nguyên, thì:
\[
a = \frac{(3n)^2}{3} = 3n^2
\]

Với điều kiện \( a > 0 \) và \( a \neq 9 \):
- Bất kỳ số nguyên dương \( n \) nào cho \( n^2 \neq 1 \) sẽ thoả mãn điều kiện trên.

Tóm lại, \( a = 3n^2 \) với \( n \) là số nguyên dương, và \( n \neq 1 \) (hay \( a \neq 9 \)).