Để chứng minh đẳng thức:

\[
\frac{1 + \sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = 1 + 2 \tan^2 \alpha \quad (\text{với } \sin \alpha \neq \pm 1)
\]

**Bước 1: Biến đổi vế trái**

Ta sử dụng định nghĩa của tan:

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

Suy ra:

\[
\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]

Lưu ý rằng \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\), do đó:

\[
\frac{1 + \sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]

**Bước 2: Chia từng thành phần**

Ta có:

\[
\frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sec^2 \alpha + \tan^2 \alpha
\]

**Bước 3: Sử dụng Định lý Pythagore**

Theo định lý Pythagore:

\[
\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha
\]

**Bước 4: Kết hợp các kết quả lại**

Thay vào kết quả vế trái:

\[
\sec^2 \alpha + \tan^2 \alpha = (1 + \tan^2 \alpha) + \tan^2 \alpha = 1 + 2 \tan^2 \alpha
\]

**Kết luận:**

Vậy ta có:

\[
\frac{1 + \sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = 1 + 2 \tan^2 \alpha
\]

Chứng minh đã hoàn thành!