Cho \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) = \frac{3 - 5x^2}{x} \). Biết \( F(e) = 1 \). Tính \( F(2) \)

Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm \( f(x) = \frac{3 - 5x^2}{x} \), trước tiên ta rút gọn hàm số:

\[
f(x) = \frac{3}{x} - 5x
\]

Bây giờ, ta sẽ tính nguyên hàm:

\[
F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( \frac{3}{x} - 5x \right) dx
\]

Tính từng phần:

1. Nguyên hàm của \( \frac{3}{x} \) là \( 3 \ln |x| \)
2. Nguyên hàm của \( -5x \) là \( -\frac{5}{2} x^2 \)

Vậy:

\[
F(x) = 3 \ln |x| - \frac{5}{2} x^2 + C
\]

Trong đó \( C \) là hằng số cần xác định.

Ta biết \( F(e) = 1 \):

\[
F(e) = 3 \ln |e| - \frac{5}{2} e^2 + C = 1
\]

Vì \( \ln |e| = 1 \), ta có:

\[
3 \cdot 1 - \frac{5}{2} e^2 + C = 1
\]

Sắp xếp lại:

\[
C = 1 + \frac{5}{2} e^2 - 3 = \frac{5}{2} e^2 - 2
\]

Bây giờ, ta có nguyên hàm hoàn chỉnh:

\[
F(x) = 3 \ln |x| - \frac{5}{2} x^2 + \frac{5}{2} e^2 - 2
\]

Cuối cùng, để tìm \( F(2) \):

\[
F(2) = 3 \ln |2| - \frac{5}{2} (2^2) + \frac{5}{2} e^2 - 2
\]
\[
= 3 \ln 2 - \frac{5}{2} \cdot 4 + \frac{5}{2} e^2 - 2
\]
\[
= 3 \ln 2 - 10 + \frac{5}{2} e^2 - 2
\]
\[
= 3 \ln 2 + \frac{5}{2} e^2 - 12
\]

Vậy kết quả là:

\[
F(2) = 3 \ln 2 + \frac{5}{2} e^2 - 12
\]