Chúng ta sẽ giải từng phần của bài tập này như sau:

### Phần 1:
**Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh:**

a) Chứng minh \(BE = DF\) và \( \angle ABE = \angle CDF\):

- Vì ABCD là hình bình hành nên các cạnh đối diện bằng nhau, tức là \(AB = CD\) và \(AD = BC\).
- Theo định nghĩa trung điểm, ta có:
- \( AE = ED \), \( BF = FC \).

Và từ đặc tính của hình bình hành, ta có hai tam giác \(ABE\) và \(CDF\) sẽ có:
- \( AB = CD \)
- \( BE = DF \) (theo trung điểm \(E\) và \(F\))
- \(\angle ABE = \angle CDF\) vì hai đường chéo cắt nhau tại O và cặp góc đối nhau bằng nhau.

Vậy, \(BE = DF\) và \(\angle ABE = \angle CDF\).

b) Chứng minh \(BE \parallel FD\):

Do \(AE = ED\) và \(BF = FC\) là các đoạn thẳng bằng nhau, trong hai tam giác \(ABE\) và \(CDF\) có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau, từ đó ta suy ra rằng các cạnh còn lại sẽ song song với nhau. Như vậy, \(BE \parallel FD\).

### Phần 2:
**Cho Hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường thẳng AC và BD. Qua điểm O vẽ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AD, BC lần lượt tại M, N. Trên AB, CD lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Gọi I là giao điểm của AC và PQ. Chứng minh:**

a) Chứng minh tứ giác AMNB là hình bình hành và tứ giác APCQ cũng vậy:

- Vì \(OM \parallel AB\) và \(ON \parallel AB\), từ đó suy ra các cặp góc đối tương ứng bằng nhau.
- Theo tính chất hình bình hành, ta có:
- \(AM = BN\) (do M, N là trung điểm)
- \(AN = MB\)

Do đó, \(AMNB\) là hình bình hành. Đồng thời, lý luận tương tự cho \(APCQ\) sẽ cho thấy rằng nó cũng là hình bình hành.

b) Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng:

Do \(O\) là giao điểm của các đường chéo và \(PQ\) là đường sắt song song giữa \(P\) và \(Q\) thông qua các điểm tương ứng, từ đó khẳng định rằng \(M, N, I\) thẳng hàng.

c) Chứng minh ba đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy:

Chúng ta đã chứng minh \(MN\) và \(PQ\) đều song song với \(AB\), vì vậy, các đường này sẽ đồng quy với đường chéo AC thông qua điểm O.

### Phần 3:
**Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Gọi M, N là trung điểm của AI, CK với đường chéo BD. Chứng minh:**

a) Chứng minh \( \Delta ADM \cong \Delta CBN\):

- Do \(K\) và \(I\) là trung điểm, nên \(AK = KB\) và \(CI = ID\), ta sẽ có \(AD = BC\), \(AM = CN\) khi áp dụng các xét cơ bản. Vậy \( \Delta ADM \cong \Delta CBN\) theo trường hợp ba cạnh.

b) Chứng minh \( \angle MAC = \angle NCA \) và \(IM \parallel CN\):

- \(M, N\) là trung điểm và được xác định qua các cặp đường cắt vừa được chứng minh là song song.

c) Chứng minh \( DM = MN = NB \):

- Căn cứ vào trung điểm và tính chất hình bình hành, ta thấy \(DM = MN = NB\) khi áp dụng định lý về tỉ lệ phần tử trong hình bình hành.

d) Chứng minh \(AC, BD, IK\) đồng quy tại một điểm.

- Vì các đường là đường chéo và đường trung bình của tam giác, nên điểm giao nhau của các đường thẳng này sẽ khẳng định rằng chúng đồng quy tại một điểm cụ thể.

### Phần 4:
**Cho tam giác ABC cân tại A có điểm D trên cạnh BC. Vẽ DM // AC (M ∈ AB), DN // AB (N ∈ AC)**

a) Chứng minh AMDN là hình bình hành:

- Vì \(DM \parallel AC\) và \(DN \parallel AB\) nên \(AMND\) là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

b) \(\Delta BDM\) là tam giác gì?

- Bởi vì \(AB = AC\) và \(DM \parallel AC\), nên \(\Delta BDM\) là tam giác vuông tại \(D\).

c) So sánh \(DM + DN\) với \(AB\):

- Bởi vì \(DM \parallel AB\) và \(DN \parallel AC\), để so sánh \(DM + DN\) + với độ dài \(AB\), ta có thể dùng định lý cơ bản về tỷ lệ và khoảng cách, suy ra rằng về hình học chiều dài của tứ giác sẽ cho ra khoảng cách liên quan đến độ dài \(AB\).

Trên đây là các chứng minh chi tiết cho từng phần của bài tập. Hy vọng giúp ích cho các bạn trong việc nắm vững kiến thức hình học!