**Giải bài toán từng phần một:**

**a. Chứng minh tam giác AMC cân:**

Trong tam giác vuông ABC tại A, với AB < AC, ta có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC. Theo định lý trung tuyến, ta biết rằng độ dài của đoạn trung tuyến AM được tính theo công thức:

\[
AM^2 = \frac{AB^2 + AC^2}{2} - \frac{BC^2}{4}
\]

Xét tam giác AMC, trong đó M là trung điểm của BC. Ta có:

- Đoạn AM đã được chứng minh là trung tuyến.
- Do M là trung điểm của BC nên BM = MC.

Tại đây, trong tam giác AMC, chúng ta có:

- AB < AC \(\Rightarrow\) BM < CM.
- Từ đó cho thấy AM = AM (chúng có độ dài bằng nhau).

Do đó, tam giác AMC có hai cạnh AM = AM và BM = MC, vậy tam giác AMC là tam giác cân tại A.

**b. Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi:**

Ta hạ từ M một đường vuông góc với AC, ký hiệu điểm hạ là O.

Dựa vào tính chất của đường trung tuyến và tính chất của điểm O, ta có:

- \(MO\) vuông góc với \(AC\).
- Theo điều kiện bài toán, chọn N trên tia đối của tia OM sao cho \(NO = NM\).

Ta có:
- \(OM = ON\) (bởi vì NO = NM).
- \(AM = AC\).

Do đó tứ giác AMCN có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau:
- AM = CN (vì AM = AC)
- MC = AN (bởi OC = ON).

Từ đó, ta có tứ giác AMCN là hình thoi.

**c. Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng:**

Từ điểm I là trung điểm của MC và D là điểm trên tia NI với điều kiện IN = ID.

Xét tam giác MC, I là trung điểm, có nghĩa là:

- MI = IC.

Khi D là điểm trên tia NI sao cho IN = ID, điều này có nghĩa là D cũng nằm trên đường thẳng nối I với N và cách đều từ I ra hai phía.

Vì D nằm ở trên tia NI nên đường thẳng A, M, D tạo thành một đường thẳng, với tính chất về trung điểm và chiều dài.

Do đó, A, M, D thẳng hàng.

**Kết luận:**

Ba điểm A, M, D nằm thẳng hàng và tất cả các phần yêu cầu đã được chứng minh.