Để thu gọn biểu thức

\[
\sqrt{4x^2 + 4x + 1} - \sqrt{4x^2 + 4x}
\]

ta bắt đầu bằng cách nhận dạng các căn bậc hai.

1. **Nhận dạng các biểu thức dưới dấu căn:**

\[
\sqrt{4x^2 + 4x + 1} = \sqrt{(2x + 1)^2}
\]

vì \(4x^2 + 4x + 1\) có thể được viết lại như \((2x + 1)^2\).

2. **Biểu thức đầu tiên:**

\[
\sqrt{4x^2 + 4x + 1} = |2x + 1|
\]

3. **Biểu thức thứ hai:**

Biểu thức thứ hai \( \sqrt{4x^2 + 4x} \) có thể được viết bằng cách phân tích ra ngoài:

\[
\sqrt{4x^2 + 4x} = \sqrt{4x(x + 1)} = 2\sqrt{x(x + 1)}
\]

4. **Thay thế lại vào biểu thức ban đầu:**

Biểu thức ban đầu trở thành:

\[
|2x + 1| - 2\sqrt{x(x + 1)}
\]

5. **Xem xét các trường hợp của giá trị tuyệt đối:**

- Nếu \(2x + 1 \geq 0 \) (tương ứng \(x \geq -\frac{1}{2}\)):
\[
|2x + 1| = 2x + 1 \Rightarrow 2x + 1 - 2\sqrt{x(x + 1)}
\]

- Nếu \(2x + 1 < 0\) (tương ứng \(x < -\frac{1}{2}\)):
\[
|2x + 1| = -(2x + 1) \Rightarrow -2x - 1 - 2\sqrt{x(x + 1)}
\]

6. **Tính toán giá trị cho trường hợp \( x \geq -\frac{1}{2}\):**

\[
2x + 1 - 2\sqrt{x(x + 1)}
\]

Để tiếp tục, ta có thể bình phương hai vế để đơn giản hóa nhưng sẽ không thu được kết quả đơn giản hơn ở đây.

7. **Kết luận:**

Biểu thức đã thu gọn được là:

\[
|2x + 1| - 2\sqrt{x(x + 1)}
\]

Tùy thuộc vào giá trị của \(x\) bạn sẽ có hai trường hợp khác nhau để tính giá trị tiếp theo, nhưng biểu thức thu gọn đã được xác định.