Để phân tích đa thức \(-125a^3 + 75a^2 - 15a + 1\) thành nhân tử, ta có thể sử dụng phương pháp phân nhóm và một số kỹ thuật phân tích khác.

Bước 1: Tổ chức lại đa thức cho dễ phân tích. Ở đây, ta nhóm các hạng tử lại:
\[
-125a^3 + 75a^2 - 15a + 1 = (-125a^3 + 75a^2) + (-15a + 1)
\]

Bước 2: Tính toán các nhóm:
- Trong nhóm đầu tiên \(-125a^3 + 75a^2\), ta có thể lấy ra yếu tố chung là \(-25a^2\):
\[
-25a^2(5a - 3)
\]
- Trong nhóm thứ hai \(-15a + 1\), không có yếu tố chung rõ ràng, ta có thể viết lại là:
\[
-(15a - 1) = -(15a - 1)
\]

Bước 3: Kết hợp lại:
Giờ ta có:
\[
-25a^2(5a - 3) - (15a - 1)
\]
Nhưng cách nhóm này không giải quyết được.

Bây giờ, ta thử sử dụng một kỹ thuật trực tiếp hơn để tìm nghiệm bằng phương pháp thử nghiệm nghiệm của đa thức bằng cách thay thế các giá trị cụ thể cho \(a\).

Thử \(a = 1\):
\[
-125(1)^3 + 75(1)^2 - 15(1) + 1 = -125 + 75 - 15 + 1 = -64 \quad (không phải nghiệm)
\]

Thử \(a = -1\):
\[
-125(-1)^3 + 75(-1)^2 - 15(-1) + 1 = 125 + 75 + 15 + 1 = 216 \quad (không phải nghiệm)
\]

Thử \(a = \frac{1}{5}\):
\[
-125\left(\frac{1}{5}\right)^3 + 75\left(\frac{1}{5}\right)^2 - 15\left(\frac{1}{5}\right) + 1 = -125\left(\frac{1}{125}\right) + 75\left(\frac{1}{25}\right) - 15\left(\frac{1}{5}\right) + 1
\]
\[
= -1 + 3 - 3 + 1 = 0 \quad (a = \frac{1}{5} là nghiệm)
\]

Bước 4: Giải tuyến tính bằng cách chia đa thức \(-125a^3 + 75a^2 - 15a + 1\) cho \(a - \frac{1}{5}\) để tìm các hạng tử còn lại.

Áp dụng quy tắc gộp được để chia:
\[
\frac{-125a^3 + 75a^2 - 15a + 1}{a - \frac{1}{5}}
\]

Sau khi chia, ta tìm được phần còn lại.

Thay vào dạng nhân tử:
\[
\Rightarrow -125a^3 + 75a^2 - 15a + 1 = (a - \frac{1}{5})(-25a^2 + 15a - 5)
\]

Cuối cùng, kiểm tra xem \(-25a^2 + 15a - 5\) có thể phân tích thêm hay không. Áp dụng công thức nghiệm bậc hai:
\[
D = 15^2 - 4 \cdot (-25) \cdot (-5) = 225 - 500 = -275 \quad (không có nghiệm thực)
\]

Kết luận:
\[
\Rightarrow -125a^3 + 75a^2 - 15a + 1 = -25(a - \frac{1}{5})(5a^2 - 3a + 1)
\]
Hoặc, có thể viết lại theo cách khác:
\[
= -25(5a^3 - 3a^2 + a - \frac{1}{5})
\]

Vì vậy, đa thức đã được phân tích thành nhân tử như trên.