Cho hình hộp ABCD a'b'c'd' có sáu mặt là hình vuông. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AB' và BD

Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng \( AB' \) và \( BD \) trong hình hộp ABCD a'b'c'd', trước tiên ta cần xác định tọa độ của các đỉnh trong không gian 3 chiều.

Giả sử hình hộp có cạnh là \( a \). Ta có các đỉnh như sau:

- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( A'(0, 0, a) \)
- \( B'(a, 0, a) \)
- \( C'(a, a, a) \)
- \( D'(0, a, a) \)

Từ đó, tọa độ các điểm cụ thể là:
- \( A \) tại \( (0, 0, 0) \)
- \( B' \) tại \( (a, 0, a) \)
- \( B \) tại \( (a, 0, 0) \)
- \( D \) tại \( (0, a, 0) \)

### Bước 1: Tính vector AB' và BD

- Vector \( \overrightarrow{AB'} \):
\[
\overrightarrow{AB'} = B' - A = (a - 0, 0 - 0, a - 0) = (a, 0, a)
\]

- Vector \( \overrightarrow{BD} \):
\[
\overrightarrow{BD} = D - B = (0 - a, a - 0, 0 - 0) = (-a, a, 0)
\]

### Bước 2: Tính cosin góc giữa hai vector

Sử dụng công thức tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{AB'} \cdot \overrightarrow{BD} = \| \overrightarrow{AB'} \| \| \overrightarrow{BD} \| \cos \theta
\]

1. Tính tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{AB'} \cdot \overrightarrow{BD} = (a, 0, a) \cdot (-a, a, 0) = a \cdot (-a) + 0 \cdot a + a \cdot 0 = -a^2
\]

2. Tính độ dài của các vector:
\[
\| \overrightarrow{AB'} \| = \sqrt{a^2 + 0 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
\]
\[
\| \overrightarrow{BD} \| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + 0} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}
\]

### Bước 3: Tính cosin góc
Từ đó, ta có:
\[
-a^2 = (a\sqrt{2})(a\sqrt{2}) \cos \theta \Rightarrow -a^2 = 2a^2 \cos \theta
\]
\[
\cos \theta = -\frac{1}{2}
\]

### Bước 4: Tính số đo của góc

Số đo của góc \( \theta \) khi \( \cos \theta = -\frac{1}{2} \) là \( \theta = 120^\circ \).

### Kết luận

Số đo của góc giữa hai đường thẳng \( AB' \) và \( BD \) là \( 120^\circ \).