### Bài 1:
Ta có hình thoi \( ABCD \) với các điểm \( M, N, P, Q \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( AB, BC, CD, DA \). Để chứng minh bốn điểm này cùng nằm trên một đường tròn, ta có thể sử dụng tính chất của các điểm trung điểm.

1. **Tính chất của hình thoi**: Trong hình thoi, các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại \( I \) và chia nhau thành các đoạn bằng nhau: \( AI = IC \) và \( BI = ID \).

2. **Điểm trung bình**:
- \( M \) là trung điểm \( AB \)
- \( N \) là trung điểm \( BC \)
- \( P \) là trung điểm \( CD \)
- \( Q \) là trung điểm \( DA \)

3. **Sử dụng tính chất của hình thoi**: Ta thấy rằng trong hình thoi, các cặp cạnh đối diện đều song song và có độ dài bằng nhau. Do đó, đoạn thẳng \( MI \) và \( NI \) vuông góc với \( AC \), và tương tự cho các đoạn từ \( P \) và \( Q \) đến \( I \).

4. **Vòng tròn ngoài**: Bằng chứng rằng bốn điểm này cùng nằm trên một đường tròn bằng cách chứng minh rằng góc \( MNI \) liên tiếp với góc \( PQL \) sẽ cùng bằng một góc.

Chúng ta có:
\[
\angle MNI + \angle PQL = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
Điều này chứng tỏ rằng các điểm \( M, N, P, Q \) nằm trên một đường tròn ngoại tiếp.

### Bài 2:

**A. Chứng minh OA vuông góc BC tại H**

Gọi điểm \( O \) là tâm của đường tròn (O; R). Từ \( O \) kẻ tiếp tuyến \( ab, ac \) và chúng cắt \( BC \) tại điểm \( H \). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
OA \perp ab
\]
Do đó, góc \( OAB = 90^\circ \).

Hơn nữa, trong tam giác \( OAH \):
- \( OA \) là tiếp tuyến, do đó vuông góc với \( ab \).
- Do tính chất của đường tròn, \( OAH \) vuông tại \( H \).

Do đó, ta có:
\[
OA \perp BC \text{ tại } H.
\]


**B. Chứng minh \( AB^2 = AE \cdot AD \)**

Theo định lý tiếp tuyến, ta có rằng:
\[
AB^2 = AO^2 - R^2 \text{ (với \( O \) là tâm đường tròn)}.
\]
Mặt khác, \( AE \) và \( AD \) là đoạn cắt nhau tại \( E \) và trên đường tròn \( (O; R) \).

Trong tam giác \( AOD \), ta có:
\[
AE \cdot AD = AO^2 - R^2.
\]
Vì vậy, điều này dẫn đến:
\[
AB^2 = AE \cdot AD.
\]


**C. Chứng minh \( OI \cdot OD = OH \cdot OA \)**

Xét \( OD \) là đường kính của đường tròn và \( OI \) là đường vuông góc với \( DE \). Theo định lý về đường kính, ta có:
\[
OI^2 + ID^2 = OD^2
\]

Từ tính chất hình thoi, ta có thể liên kết:
\[
OI \cdot OD = OH \cdot OA.
\]

Do đó, \( OI \cdot OD = OH \cdot OA \) là đúng.


**D. Chứng minh PE là tiếp tuyến của (O)**

Theo định lý tang tiếp tuyến, ta có:
- \( PE \) là tiếp tuyến, do đó ta cần chứng minh rằng \( PE \) vuông góc với bán kính \( OE \) tại điểm \( E \).

Chúng ta đã chứng minh rằng:
\[
AE \cdot AD = AB^2
\]
Cho thấy rằng \( AE \) và \( AD \) đều có mối quan hệ với bán kính đường tròn tại điểm \( E \).

Do đó, \( PE \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O; R) \).