Cho a,b,c là 3 số nguyên tố khác nhau. Chứng tỏ tổng bình phương của chúng không phải là số chính phương

Để chứng minh rằng tổng bình phương của ba số nguyên tố khác nhau \( a, b, c \) không phải là số chính phương, ta có thể xem xét đặc điểm của các số nguyên tố và tính chất của số chính phương.

1. **Tính chất của số nguyên tố**: Một số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, không có ước số nào khác ngoài 1 và chính nó. Số nguyên tố nhỏ nhất là 2, và tất cả các số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ.

2. **Hệ thống số**: Giả sử rằng \( a = 2 \) (số nguyên tố chẵn) và \( b, c \) là hai số nguyên tố lẻ (vì chúng khác nhau). Nếu cả ba số nguyên tố đều là số lẻ (không có số chẵn), thì:

- Gọi \( b \) và \( c \) là hai số nguyên tố lẻ.
- Tổng bình phương của ba số nguyên tố:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + b^2 + c^2 = 4 + b^2 + c^2
\]

- Bây giờ, cả \( b^2 \) và \( c^2 \) đều là số lẻ (vì bình phương của số lẻ vẫn là số lẻ), nên:
\[
b^2 \equiv 1 \mod 2 \quad \text{và} \quad c^2 \equiv 1 \mod 2
\]
- Tổng:
\[
b^2 + c^2 \equiv 1 + 1 \equiv 0 \mod 2
\]

Vậy \( 4 + b^2 + c^2 \equiv 4 + 0 \equiv 0 \mod 2 \), nghĩa là tổng là số chẵn.

3. **Xét tổng bình phương với các số lẻ**: Nếu cả ba số \( a, b, c \) đều là số lẻ, thì bình phương của mỗi số lẻ cũng là số lẻ, dẫn đến:
- Tổng của ba số lẻ là:
\[
a^2 + b^2 + c^2 \equiv 1 + 1 + 1 \equiv 1 \mod 2
\]

Điều này có nghĩa là tổng sẽ là số lẻ.

4. **Chỉ ra số chính phương**: Số chính phương có thể là số chẵn hoặc số lẻ, nhưng với trường hợp cụ thể này, chúng ta hãy thấy rằng:
- Nếu tổng \( a^2 + b^2 + c^2 \) là số chẵn, nó có thể là số chính phương.
- Nếu tổng là số lẻ (trong trường hợp ba số đều lẻ), nó không thể là bình phương của một số nguyên.

5. **Kết luận**: Như vậy, nếu \( a, b, c \) là ba số nguyên tố khác nhau, thì tổng bình phương không bao giờ có dạng của một số chính phương. Do đó, tổng bình phương của ba số nguyên tố khác nhau không phải là số chính phương.