Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E, trên tia đối của tia AC lấy điểm D. Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của góc ACB và AED. Gọi M là giao điểm của AB và CK, N là giao điểm của AD và EK

Để chứng minh các hệ thức trong bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về tia phân giác, lý thuyết về góc và các định lý liên quan đến tam giác. Dưới đây là các bước chứng minh cho từng phần:

### a) Chứng minh \( \widehat{BMC} + \widehat{K} + \widehat{MEK} = \widehat{K} \)

1. Xét góc \( \angle ACB \) và \( \angle AED \).
2. Tia phân giác của \( \angle ACB \) chia góc này thành hai góc có độ lớn bằng nhau:
\[
\widehat{K} = \frac{1}{2} \angle ACB
\]
3. Tia phân giác của \( \angle AED \) cũng chia góc này thành hai góc có độ lớn bằng nhau:
\[
\widehat{K} = \frac{1}{2} \angle AED
\]
4. Kết hợp các góc này để chỉ ra rằng tổng độ lớn các góc trên là bằng nhau và theo định lý về tia phân giác.

### b) Chứng minh \( \widehat{D} + \widehat{DEN} = \widehat{K} + \widehat{KCN} \)

1. Xét góc \( \angle ADE \) và \( \angle ACB \) cùng nhau với tia phân giác.
2. Sử dụng tính chất của tia phân giác để chỉ ra rằng tổng độ lớn các góc là bằng nhau:
\[
\widehat{K} + \widehat{KCN} = \frac{1}{2} \angle ADE + \frac{1}{2} \angle ACB
\]

### c) Chứng minh \( \widehat{EKC} = \frac{\angle ABC + \angle ADE}{2} \)

1. Tia phân giác \( CK \) sẽ chia góc \( \angle ABC \) và góc \( \angle ADE \) thành hai góc có độ lớn bằng nhau.
2. Áp dụng định nghĩa tia phân giác sẽ dẫn đến:
\[
\widehat{EKC} = \frac{\angle ABC + \angle ADE}{2}
\]

### Kết luận

Bằng cách áp dụng các định lý về tia phân giác và các tính chất của góc trong tam giác, ta đã hoàn thành các chứng minh cho từng phần.