Để tìm số tự nhiên \( a \) thỏa mãn các điều kiện sau:

1. \( 264 \) chia \( a \) dư \( 24 \)
2. \( 363 \) chia \( a \) dư \( 43 \)

Ta có thể viết lại các điều kiện này bằng các phương trình:

1. \( 264 \equiv 24 \mod a \) tức là \( 264 - 24 = 240 \) chia hết cho \( a \), nghĩa là \( a | 240 \).
2. \( 363 \equiv 43 \mod a \) tức là \( 363 - 43 = 320 \) chia hết cho \( a \), nghĩa là \( a | 320 \).

Vậy nên \( a \) phải là ước chung của \( 240 \) và \( 320 \).

### Bước 1: Tìm ước chung của \( 240 \) và \( 320 \)

**Ước số của \( 240 \)**:
- \( 240 = 2^4 \times 3^1 \times 5^1 \)

**Ước số của \( 320 \)**:
- \( 320 = 2^6 \times 5^1 \)

**Nhân Tử chung**:
- \( 2^4 \) là nhân tử chung lớn nhất (góc nhìn từ \( 240 \)) và \( 5^1 \) là khá nhau.

### Bước 2: Tìm bội số chung nhỏ nhất của \( 240 \) và \( 320 \)

Ta cần tính \( 240 \) và \( 320 \):
1. \( 240 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
2. \( 320 = 2^6 \cdot 5^1 \)

### Bước 3: Tìm bội số chung nhỏ nhất \( (LCM) \)

- \( LCM = 2^{\max(4, 6)} \cdot 3^{\max(1, 0)} \cdot 5^{\max(1, 1)} = 2^6 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 960 \)

### Kết luận
Các ước chung của \( 240 \) và \( 320 \) mà thỏa mãn \( a < 240, 320 \) có thể được lấy từ ước số đơn giản như \( 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240 \).

Bạn cần tìm \( a \) sao cho đồng thời thỏa mãn cả hai điều kiện chia dư trên.

Kiểm tra các giá trị lớn hơn hoặc bằng \( 24 \) và \( 43 + 1 \):

Cách tốt nhất là bắt đầu từ từ \( 240 \) và \( 320 \) và kiểm tra từng ước. Coi như tất cả các số từ \( 1 \) đến \( 240 \) và \( 320 \) theo yêu cầu đề bài.

Do đó, các số \( a \) hợp lệ là \( 80 \) và các bội số của nó cho đến \( 240 \).