Gọi số thập phân ban đầu là \( x \).

Khi dời dấu phẩy của \( x \) sang phải một chữ số, ta có:
\[
10x
\]
Khi dời dấu phẩy của \( x \) sang trái một chữ số, ta có:
\[
\frac{x}{10}
\]

Theo đề bài, tổng của ba số này là:
\[
x + 10x + \frac{x}{10} = 360.306
\]

Làm gọn biểu thức bên trái:
\[
11x + \frac{x}{10} = 360.306
\]

Để cộng các số hạng này, ta quy đồng mẫu số:
\[
11x = \frac{110x}{10}
\]

Do đó, phương trình có thể được viết lại như sau:
\[
\frac{110x}{10} + \frac{x}{10} = 360.306
\]

Kết hợp các số hạng lại:
\[
\frac{111x}{10} = 360.306
\]

Nhân cả hai vế với 10 để loại bỏ mẫu số:
\[
111x = 3603.06
\]

Chia cả hai vế cho 111:
\[
x = \frac{3603.06}{111}
\]

Thực hiện phép chia:
\[
x = 32.4
\]

Vậy số thập phân ban đầu là:
\[
\boxed{32.4}
\]

### Kiểm tra:

1. Dời dấu phẩy sang phải một chữ số: \( 10x = 10 \times 32.4 = 324 \).
2. Dời dấu phẩy sang trái một chữ số: \( \frac{x}{10} = \frac{32.4}{10} = 3.24 \).
3. Tính tổng:
\[
32.4 + 324 + 3.24 = 359.64 + 3.24 = 360.306
\]

Kết quả kiểm tra đúng với điều kiện ban đầu. Vì vậy, số thập phân ban đầu là \( \boxed{32.4} \).