Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm \( x \) nguyên sao cho \( A \) có giá trị nguyên, ta thực hiện như sau:

### Phần a: Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức đã cho là:
\[
A = \frac{15\sqrt{x} - 19}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}
\]

Bước 1: Ký hiệu \( t = \sqrt{x} \), do đó \( x = t^2 \). Thay vào biểu thức, ta có:
\[
A = \frac{15t - 19}{t^2 + 2t - 3} - \frac{3t - 2}{1 - t} - \frac{2t + 3}{t + 3}
\]

Bước 2: Rút gọn từng phần.

**Phần đầu tiên**:
\[
t^2 + 2t - 3 = (t + 3)(t - 1)
\]
Do đó,
\[
\frac{15t - 19}{t^2 + 2t - 3} = \frac{15t - 19}{(t + 3)(t - 1)}
\]

**Phần thứ hai**:
\[
- \frac{(3t - 2)(t + 3)}{(1 - t)(t + 3)} = \frac{(3t - 2)(t + 3)}{t - 1}
\]

**Phần thứ ba**:
\[
- \frac{(2t + 3)(1 - t)}{1 - t} = - (2t + 3)
\]

Bước 3: Kết hợp lại các phần và rút gọn.

### Phần b: Tìm \( x \) nguyên

Giải phương trình \( A \) sẽ giúp tìm ra giá trị của \( x \) mà làm cho \( A \) là một số nguyên. Bạn có thể thay các giá trị nguyên cho \( t = \sqrt{x} \) và sau đó kiểm tra xem với các giá trị của \( t \) (là số nguyên không âm), \( A \) có cho kết quả là số nguyên không.

Thì các giá trị \( t = 0, 1, 2, 3, \ldots \) sẽ là các giá trị cần kiểm tra.

Sau khi tìm các giá trị, bạn sẽ có các kết quả của \( A \) và có thể xác định các giá trị của \( x \) tương ứng.

Cuối cùng, bạn có thể chọn các giá trị mà \( A \) cho kết quả là số nguyên.