Để chứng minh rằng \( 313^{5.299} - 313^{6.36} \) chia hết cho 7, trước tiên chúng ta sẽ sử dụng định lý Fermat.

Theo định lý Fermat, nếu \( p \) là một số nguyên tố và \( a \) là một số không chia hết cho \( p \), thì có:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Trong trường hợp này, chúng ta lấy \( p = 7 \) và \( a = 313 \). Trước tiên, chúng ta cần tìm xem \( 313 \mod 7 \).

Tính toán \( 313 \mod 7 \):

\[
313 \div 7 \approx 44.714 \implies 44 \times 7 = 308
\]
\[
313 - 308 = 5 \implies 313 \equiv 5 \mod 7
\]

Bây giờ, thay thế \( 313 \) bằng \( 5 \) trong biểu thức \( 313^{5.299} - 313^{6.36} \):

\[
313^{5.299} \equiv 5^{5.299} \mod 7
\]

\[
313^{6.36} \equiv 5^{6.36} \mod 7
\]

Ta cần tính \( 5^{5.299} - 5^{6.36} \mod 7 \).

Xét \( 5^n \mod 7 \):

\[
5^1 \equiv 5 \mod 7
\]
\[
5^2 \equiv 25 \equiv 4 \mod 7
\]
\[
5^3 \equiv 20 \equiv 6 \mod 7
\]
\[
5^4 \equiv 30 \equiv 2 \mod 7
\]
\[
5^5 \equiv 10 \equiv 3 \mod 7
\]
\[
5^6 \equiv 15 \equiv 1 \mod 7
\]

Như vậy, chu kỳ của \( 5^n \) modulo 7 là 6. Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ cần xem xét số mũ modulo 6 để tính \( 5^{n} \mod 7 \).

Bây giờ chúng ta xem xét \( 5.299 \) và \( 6.36 \):

1. Tính \( 5.299 \mod 6 \):
- \( 5.299 \) có phần nguyên là 5 nên \( 5.299 \mod 6 = 5 \).

2. Tính \( 6.36 \mod 6 \):
- \( 6.36 \) có phần nguyên là 6, nên \( 6.36 \mod 6 = 0 \).

Do đó:
\[
5^{5.299} \equiv 5^5 \mod 7 \equiv 3 \mod 7
\]
\[
5^{6.36} \equiv 5^0 \mod 7 \equiv 1 \mod 7
\]

Từ đó, chúng ta có:
\[
5^{5.299} - 5^{6.36} \equiv 3 - 1 \equiv 2 \mod 7
\]

Vì \( 2 \) không chia hết cho \( 7 \), điều này cho thấy có sự nhầm lẫn trong bài toán. Từ dạng của câu hỏi, dường như bạn muốn chứng minh một dạng khác. Vui lòng kiểm tra lại câu hỏi để có thông tin chính xác hơn.