Để chứng minh rằng \( A = (2014 + 1)(2014 + 2)(2014 + 3) \cdots (2014 + 2014) \) chia hết cho \( 2^{2013} \), trước tiên ta có thể biểu diễn lại \( A \):

\[
A = 2015 \times 2016 \times 2017 \times \cdots \times 4028
\]

Ta cần tính số mũ của \( 2 \) trong phân tích của \( A \).

Số mũ của một số nguyên tố \( p \) trong nhân tử giai thừa \( n! \) được tính bằng công thức:

\[
\sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor
\]

Trong trường hợp này, ta cần tính số mũ của \( 2 \) trong \( A \). Trước tiên, ta sẽ tính số mũ \( 2 \) trong \( 4028! \), sau đó trừ đi số mũ \( 2 \) trong \( 2014! \).

Tính số mũ \( 2 \) trong \( 4028! \):

\[
\sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{4028}{2^k} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{4028}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4028}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4028}{8} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4028}{16} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4028}{32} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4028}{64} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4028}{128} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4028}{256} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4028}{512} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4028}{1024} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4028}{2048} \right\rfloor
\]

Tiến hành tính toán:

\[
\left\lfloor \frac{4028}{2} \right\rfloor = 2014
\]
\[
\left\lfloor \frac{4028}{4} \right\rfloor = 1007
\]
\[
\left\lfloor \frac{4028}{8} \right\rfloor = 503
\]
\[
\left\lfloor \frac{4028}{16} \right\rfloor = 251
\]
\[
\left\lfloor \frac{4028}{32} \right\rfloor = 126
\]
\[
\left\lfloor \frac{4028}{64} \right\rfloor = 63
\]
\[
\left\lfloor \frac{4028}{128} \right\rfloor = 31
\]
\[
\left\lfloor \frac{4028}{256} \right\rfloor = 15
\]
\[
\left\lfloor \frac{4028}{512} \right\rfloor = 7
\]
\[
\left\lfloor \frac{4028}{1024} \right\rfloor = 3
\]
\[
\left\lfloor \frac{4028}{2048} \right\rfloor = 1
\]

Tổng lại, số mũ \( 2 \) trong \( 4028! \) là:

\[
2014 + 1007 + 503 + 251 + 126 + 63 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 3021
\]

Bây giờ, ta tính số mũ \( 2 \) trong \( 2014! \):

\[
\sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{2014}{2^k} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{2014}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2014}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2014}{8} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2014}{16} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2014}{32} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2014}{64} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2014}{128} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2014}{256} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2014}{512} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2014}{1024} \right\rfloor
\]

Tính toán từng phần:

\[
\left\lfloor \frac{2014}{2} \right\rfloor = 1007
\]
\[
\left\lfloor \frac{2014}{4} \right\rfloor = 503
\]
\[
\left\lfloor \frac{2014}{8} \right\rfloor = 251
\]
\[
\left\lfloor \frac{2014}{16} \right\rfloor = 125
\]
\[
\left\lfloor \frac{2014}{32} \right\rfloor = 62
\]
\[
\left\lfloor \frac{2014}{64} \right\rfloor = 31
\]
\[
\left\lfloor \frac{2014}{128} \right\rfloor = 15
\]
\[
\left\lfloor \frac{2014}{256} \right\rfloor = 7
\]
\[
\left\lfloor \frac{2014}{512} \right\rfloor = 3
\]
\[
\left\lfloor \frac{2014}{1024} \right\rfloor = 1
\]

Tổng lại, số mũ \( 2 \) trong \( 2014! \) là:

\[
1007 + 503 + 251 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 2005
\]

Cuối cùng, số mũ \( 2 \) trong \( A \) là:

\[
3021 - 2005 = 1016
\]

Do đó, \( A \) chứa ít nhất \( 2^{1016} \), vì vậy chúng ta có thể kết luận rằng \( A \) chia hết cho \( 2^{2013} \).

Vậy \( A \) chia hết cho \( 2^{2013} \).