Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Tính AB theo R

1. **Xác định các điểm và hình học**:
- Điểm \( O \) là tâm của đường tròn \( (O; R) \).
- Điểm \( A \) cách điểm \( O \) một khoảng bằng \( 2R \), tức \( OA = 2R \).
- Các điểm \( B \) và \( C \) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến từ \( A \) đến đường tròn.

2. **Áp dụng định lý Pytago**:
- Xét tam giác \( OAB \):
\[
OA^2 = OB^2 + AB^2.
\]
- Trong đó, \( OB = R\) (bán kính) và \( OA = 2R \). Thay vào:
\[
(2R)^2 = R^2 + AB^2.
\]
\[
4R^2 = R^2 + AB^2.
\]
\[
4R^2 - R^2 = AB^2 \Rightarrow 3R^2 = AB^2 \Rightarrow AB = R\sqrt{3}.
\]

### b) Tính số đo \( \angle BOA \)

1. **Xét tam giác \( OAB \)**:
- Sử dụng định lý về các góc trong tam giác, ta có:
\[
\tan(\angle OAB) = \frac{OB}{AO} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}.
\]

2. **Tính số đo góc**:
- Suy ra \( \angle OAB = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \).

Xét toàn bộ tam giác \( OAB \) có góc \( AOB = 90^\circ \) do đây là góc giữa bán kính và tiếp tuyến nên:
\[
\angle BOA = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right).
\]

### c) Chứng minh \( \triangle OAK \) vuông tại \( K \)

1. **Xem xét vị trí điểm \( K \)**:
- Điểm \( K \) là điểm giao nhau của đường thẳng \( AC \) với đường thẳng đi qua \( O \) và vuông góc với \( OB \).

2. **Xét tam giác \( OAK \)**:
- Vì \( OK \) vuông góc với \( OB \) nên:
\[
\angle OAK = \angle OAB \text{ (bằng nhau, cùng nằm trên đường thẳng)}.
\]

3. **Chứng minh vuông**:
- Do \( OA^2 = OK^2 + AK^2\) từ định lý Pytago suy ra \( \triangle OAK \) vuông tại \( K \).

### Kết luận

- \( AB = R\sqrt{3} \).
- \( \angle BOA = 90^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \).
- \( \triangle OAK \) vuông tại \( K \).