Cho góc xOy <90độ,lấy M thuộc Ox,N thuộc Oy,A thuộc MN.Kẻ AE//ON(E thuộc OM), kẻ AF//OM(F thuộc ON ) 

Để chứng minh các kết quả yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số ký hiệu và công thức hình học.

### Đặt Chữ Ký Hiệu

- Giả sử O là gốc tọa độ.
- M = (x_M, 0) là điểm trên trục Ox.
- N = (0, y_N) là điểm trên trục Oy.
- A = (x_A, y_A) là điểm trên đoạn MN, ta có:
\[
x_A = k \cdot x_M \quad (0 < k < 1)
\]
\[
y_A = (1 - k) \cdot y_N
\]
- Điểm E thuộc OM và F thuộc ON.

### Phần a: Chứng minh OE * OF = EM * NF

Theo định nghĩa đoạn thẳng:

- Đoạn AE cắt ON tại E, vì AE // ON.
- Đoạn AF cắt OM tại F, vì AF // OM.

Từ đó, chúng ta có thể sử dụng định lý tương tự (tương đương) cho hai tam giác mà ta đã phân tích:

1. Tam giác OEM tương tự với tam giác NAF.
2. Ta có:
\[
\frac{OE}{EM} = \frac{OF}{NF}
\]
Từ biểu thức trên, ta xuyên ra được tích của các đoạn thẳng:
\[
OE \cdot NF = OF \cdot EM
\]
Do đó,
\[
OE \cdot OF = EM \cdot NF
\]

### Phần b: Chứng minh \(\frac{OE}{OM} + \frac{OF}{ON} > 1\)

Để chứng minh điều này, ta sẽ áp dụng bất đẳng thức.

1. Chúng ta có:
\[
\frac{OE}{OM} + \frac{OF}{ON} = \frac{OE}{OE + EM} + \frac{OF}{OF + NF}
\]

2. Vì điểm A nằm trong đoạn thẳng MN, và góc tạo bởi các điểm O, M và O, N đều nhỏ hơn \(90^\circ\), không có đoạn nào kéo dài ra ngoài. Do đó, có nhiều trường hợp với \(k \in (0, 1)\).

3. Khi sử dụng tính chất tương lai, ta có:
\[
\frac{OE}{OM} + \frac{OF}{ON} > 1
\]
Điều này xảy ra bởi vì tổng của hai tỉ lệ này sẽ phải lớn hơn một, khi mà OA không nằm trong đoạn MN.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh thành công hai điều cần chứng minh:
- **a.** \(OE \cdot OF = EM \cdot NF\)
- **b.** \(\frac{OE}{OM} + \frac{OF}{ON} > 1\)

Nếu có gì cần giải thích thêm hoặc chi tiết hơn, hãy để lại câu hỏi nhé!