Cho hình thang (AB // CD, AB < CD) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Qua điểm O vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AB cắt hai cạnh bên AD và BC lần lượt tại M và N

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một như sau:

### a) Chứng minh tỉ số
Ta cần chứng minh \(\frac{AM}{AD} = \frac{AO}{AC}\).

- **Tính chất của hình thang**: Vì \(AB \parallel CD\), theo định lý về đoạn cắt tỷ lệ, ta có:
\[
\frac{AM}{AD} = \frac{AO}{AC}
\]
- Do \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), ta có thể áp dụng định lý Thales cho tam giác \(AOD\) và \(AOC\).

### b) Chứng minh OA = OB
Ta cần chứng minh \(OA = OB\) và \(OA = OB - AC\).

- Sử dụng tính chất trọng tâm của hình thang: độ dài đoạn nối từ giao điểm đường chéo đến các đỉnh. Ta cũng có thể dùng tính chất đối xứng của hình thang \(AB \parallel CD\).

### c) Kéo dài OE // AD (E ∈ DC), OF // BC (F ∈ DC) Chứng minh DE = CF

- Theo tính chất của đường thẳng song song, ta có:
\[
\text{Nếu } OE \parallel AD \text{, thì } DE = CF
\]

### d) Chứng minh \(\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{2}{MN}\)

- Sử dụng tính chất đoạn cắt tỷ lệ trong hình thang, ta có thể chứng minh rằng:
\[
\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{2}{MN}
\]
- Áp dụng định lý tạo tỷ lệ cho các đoạn song song.

Hy vọng điều này giúp bạn trong việc hoàn thành bài toán! Nếu cần thêm chi tiết từng bước, hãy cho tôi biết.