Cho tam giác ABC có cạnh AB nhỏ hơn AC. KẺ AM là tia phận giác của góc A ( M thuộc BC ). TRên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN bằng AB

Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, trước tiên chúng ta sẽ đánh giá các yếu tố của tam giác và các điểm đã cho.

### a) Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác AMN

Theo giả thiết, ta có:
- \( AN = AB \)

Xét hai tam giác \( AMB \) và \( AMN \):
- \( AM \) là tia phân giác của góc \( A \), tức là \( \angle BAM = \angle NAM \).
- \( AB = AN \).

Vì có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau \( AM \) là chung và \( \angle BAM = \angle NAM \) và cạnh \( AB = AN \), từ đó, ta có thể suy ra rằng:

\[
\Delta AMB \cong \Delta AMN \quad (Cạnh - góc - cạnh)
\]

### b) Chứng minh ME bằng MC

Gọi \( E \) là giao điểm của \( AB \) và \( NM \). Vì tam giác \( AMB \) và \( AMN \ bằng nhau (từ câu a), ta có:

\[
AM = AM, \quad AB = AN, \quad \angle BAM = \angle NAM
\]

Suy ra \( BM \) và \( AN \) có các góc tương ứng tại \( E \) bằng nhau. Điều này dẫn đến \( EM \) là trung tuyến và \( ME = MC \).

### c) Chứng tỏ góc BNK vuông

Ta kẻ \( NK \) song song với \( AM \). Theo tính chất đường thẳng song song, ta có:

- \( \angle AMB = \angle BKN \) (góc đồng vị).
- \( \angle ANM = \angle KNB \) (góc đồng vị).

Xét tam giác \( ANM \), vì \( AB = AN \) và \( AM = AM \), ta có:

- \( AN = AB \Longrightarrow \angle ANM = \angle AMB \).

Do đó, từ giai đoạn trước, ta thấy hai cặp góc bằng nhau, cả hai góc \( ANM \) và \( AMB \) cùng có \( BK \) vuông góc với \( ANM \), dẫn tới \( \angle BNK = 90^\circ \).

Từ đó, ta suy ra được góc \( BNK \) vuông.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán như sau:
- Tam giác \( AMB \) bằng tam giác \( AMN \).
- \( ME = MC \).
- Góc \( BNK \) vuông.