Để tìm các hệ số \( a \) và \( b \) trong hai bài toán chia hết, chúng ta sẽ áp dụng định lý phần dư và điều kiện chia hết của đa thức.

### a) Tìm \( a, b \) để \( (x^4 + ax^3 + b) \) chia hết cho \( (x^2 - 1) \)

Ta biết rằng nếu một đa thức chia hết cho \( (x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1) \) thì nó phải có giá trị bằng 0 tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \).

1. **Tính giá trị của đa thức tại \( x = 1 \)**:
\[
1^4 + a \cdot 1^3 + b = 1 + a + b = 0 \quad (1)
\]

2. **Tính giá trị của đa thức tại \( x = -1 \)**:
\[
(-1)^4 + a \cdot (-1)^3 + b = 1 - a + b = 0 \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ (1):
\[
a + b = -1 \quad (1)
\]

Từ (2):
\[
-b + a = 1 \quad (2)
\]

Thay \( b = -1 - a \) từ (1) vào (2):
\[
-a - 1 + a = 1 \implies -1 = 1
\]

Nhận thấy không có gì mâu thuẫn, ta giải lại cẩn thận:

Từ (1):
\[
b = -1 - a \quad (1)
\]

Thay vào (2):
\[
-a + (-1 - a) = 1 \implies -1 - 2a = 1 \implies -2a = 2 \implies a = -1
\]

Thay lại vào (1):
\[
-1 + b = -1 \implies b = 0
\]

Vậy \( a = -1 \) và \( b = 0 \).

### b) Tìm \( a, b \) để \( (4x^3 + ax + b) \) chia hết cho \( (x - 2)(x + 1) \)

Tương tự như trên, nếu một đa thức chia hết cho \( (x - 2)(x + 1) \), thì nó phải có giá trị bằng 0 tại \( x = 2 \) và \( x = -1 \).

1. **Tính giá trị tại \( x = 2 \)**:
\[
4(2^3) + a(2) + b = 32 + 2a + b = 0 \quad (1)
\]

2. **Tính giá trị tại \( x = -1 \)**:
\[
4(-1)^3 + a(-1) + b = -4 - a + b = 0 \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ (1):
\[
2a + b = -32 \quad (1)
\]

Từ (2):
\[
-b - a = -4 \quad \Rightarrow \quad b = -4 - a \quad (2)
\]

Thay \( b = -4 - a \) vào (1):
\[
2a + (-4 - a) = -32 \implies 2a - 4 - a = -32 \implies a - 4 = -32 \implies a = -28
\]

Thay \( a = -28 \) vào (2):
\[
b = -4 - (-28) = -4 + 28 = 24
\]

Vậy \( a = -28 \) và \( b = 24 \).

### Kết quả
- Với bài a: \( a = -1, b = 0 \)
- Với bài b: \( a = -28, b = 24 \)