Để tìm \( p \) và \( q \) sao cho đa thức \( x^3 + px + q \) chia hết cho \( x^2 - 2x - 3 \), ta cần sử dụng định lý phần dư. Nếu \( x^3 + px + q \) chia hết cho \( x^2 - 2x - 3 \), thì phần dư của phép chia này sẽ bằng 0.

Trước hết, ta phân tích đa thức \( x^2 - 2x - 3 \):

\[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]

Vậy, \( x^2 - 2x - 3 \) có hai nghiệm là \( x = 3 \) và \( x = -1 \). Để \( x^3 + px + q \) chia hết cho \( x^2 - 2x - 3 \), thì cả hai giá trị \( x = 3 \) và \( x = -1 \) cần đáp ứng:

1. \( P(3) = 3^3 + 3p + q = 0 \)
2. \( P(-1) = (-1)^3 - p + q = 0 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hai phương trình này.

**Phương trình thứ nhất:**

\[
P(3) = 27 + 3p + q = 0 \implies 3p + q = -27 \quad \text{(1)}
\]

**Phương trình thứ hai:**

\[
P(-1) = -1 - p + q = 0 \implies -p + q = 1 \quad \text{(2)}
\]

Giờ hãy giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ phương trình (2):

\[
q = p + 1 \quad \text{(3)}
\]

Thay (3) vào (1):

\[
3p + (p + 1) = -27
\]
\[
3p + p + 1 = -27
\]
\[
4p + 1 = -27
\]
\[
4p = -28 \implies p = -7
\]

Bây giờ thay giá trị \( p \) vào phương trình (3) để tìm \( q \):

\[
q = -7 + 1 = -6
\]

Vậy, giá trị của \( p \) và \( q \) là:

\[
p = -7, \quad q = -6
\]

Do đó, cặp \( (p, q) = (-7, -6) \) là lời giải cho bài toán.