Cho ∆ABC biết A(4;-1), C(-2;2) và H( - 1/2; - 1 ) là trực tâm của tam giác. Tìm tọa độ điểm B

Để tìm tọa độ điểm B trong tam giác ABC với A(4, -1), C(-2, 2) và H(-1/2, -1) là trực tâm của tam giác, chúng ta cần sử dụng tính chất của trực tâm trong tam giác.

Trực tâm H của tam giác tạo ra ba đường cao, mỗi đường cao đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Tọa độ của trực tâm H có thể được tính bằng cách sử dụng tọa độ của các đỉnh A, B, C.

Đầu tiên, ta cần tính độ dốc của đoạn thẳng AC. Tọa độ của A và C lần lượt là:
- A(4, -1)
- C(-2, 2)

Độ dốc của AC được tính bằng công thức:
\[
m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{2 - (-1)}{-2 - 4} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}
\]

Do đó, độ dốc của đường cao từ B sẽ là độ dốc vuông góc với AC, tức là:
\[
m_{BH} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm phương trình của đường thẳng BH, mà đi qua H(-1/2, -1). Sử dụng công thức của phương trình đường thẳng:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
thay vào với tọa độ của H và độ dốc m = 2:
\[
y + 1 = 2 \left( x + \frac{1}{2} \right) \\
y + 1 = 2x + 1 \\
y = 2x
\]

Bây giờ, ta tìm độ dốc của đoạn thẳng AB:
Điểm B có tọa độ (x_B, y_B) chưa xác định. Để tìm B, ta cần viết phương trình của đường cao từ C với độ dốc vuông góc với AB.

Đoạn thẳng AB sẽ có độ dốc là:
\[
m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
\]

Ta có thể nhờ trực tâm H để tìm một mối liên hệ giữa các điểm. Tọa độ H là trung bình trọng của các đỉnh A, B, C:
\[
H\left( -\frac{1}{2}, -1 \right) = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)
\]

Thay các tọa độ A(4; -1) và C(-2; 2):
\[
-\frac{1}{2} = \frac{4 + x_B - 2}{3} \\
-1 = \frac{-1 + y_B + 2}{3}
\]

Giải phương trình đầu tiên:
\[
- \frac{1}{2} \cdot 3 = 4 + x_B - 2 \\
- \frac{3}{2} = 2 + x_B \\
x_B = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{7}{2}
\]

Giải phương trình thứ hai:
\[
-1 \cdot 3 = -1 + y_B + 2 \\
-3 = 1 + y_B \\
y_B = -4
\]

Vậy tọa độ điểm B là:
\[
B\left(-\frac{7}{2}, -4\right)
\]