Ta có công thức tổng của một chuỗi cấp số nhân như sau:

Tổng \( A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{41} \)

Đây là một chuỗi cấp số nhân với số hạng đầu \( a = 1 \) và tỷ lệ \( r = 2 \), với số hạng cuối là \( 2^{41} \).

Công thức tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi cấp số nhân là:

\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]

Áp dụng vào bài toán này, ta có:

- Số hạng đầu tiên \( a = 1 \)
- Tỷ lệ \( r = 2 \)
- Số hạng cuối là \( 2^{41} \), nên số hạng là \( 41 + 1 = 42 \)

Vậy, chúng ta có:

\[
A = \frac{1(1 - 2^{42})}{1 - 2} = \frac{1 - 2^{42}}{-1} = 2^{42} - 1
\]

### a. Thu gọn tổng A
Tổng \( A \) được thu gọn như sau:

\[
A = 2^{42} - 1
\]

### b. Chứng tỏ A chia hết cho 3, 7
Để chứng minh \( A \) chia hết cho 3, ta áp dụng định lý về số dư:

- Tính \( 2^{42} \mod 3 \):
- \( 2 \equiv 2 \mod 3 \)
- \( 2^1 \equiv 2 \mod 3 \)
- \( 2^2 \equiv 1 \mod 3 \)
- Vì \( 2^2 \equiv 1 \mod 3 \), nên \( 2^{42} = (2^2)^{21} \equiv 1^{21} \equiv 1 \mod 3 \)

Từ đó, ta có:

\[
A = 2^{42} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3
\]

Vậy, \( A \) chia hết cho 3.

- Tính \( 2^{42} \mod 7 \):
- \( 2^1 \equiv 2 \mod 7 \)
- \( 2^2 \equiv 4 \mod 7 \)
- \( 2^3 \equiv 1 \mod 7 \) (chu kỳ 3)
- \( 42 \mod 3 = 0 \rightarrow 2^{42} \equiv 1 \mod 7 \)

Từ đó, ta có:

\[
A = 2^{42} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 7
\]

Vậy, \( A \) cũng chia hết cho 7.

### c. Tìm số dư của A khi chia cho 5
Để tìm \( A \mod 5 \):

- Tính \( 2^{42} \mod 5 \):
- \( 2^1 \equiv 2 \mod 5 \)
- \( 2^2 \equiv 4 \mod 5 \)
- \( 2^3 \equiv 3 \mod 5 \)
- \( 2^4 \equiv 1 \mod 5 \) (chu kỳ 4)
- \( 42 \mod 4 = 2 \rightarrow 2^{42} \equiv 2^2 \equiv 4 \mod 5 \)

Vậy:

\[
A = 2^{42} - 1 \equiv 4 - 1 \equiv 3 \mod 5
\]

### Kết luận
a. \( A = 2^{42} - 1 \)

b. \( A \) chia hết cho 3 và 7.

c. Số dư của \( A \) khi chia cho 5 là 3.