Để tìm cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình sau:

\[
|y + 3| + 5 = \frac{10}{(2x - 6)^2 + 2}
\]

chúng ta sẽ giải từng phần.

### Bước 1: Phân tích phương trình

Phương trình có thể viết lại như sau:

\[
|y + 3| = \frac{10}{(2x - 6)^2 + 2} - 5
\]

### Bước 2: Xác định miền giá trị của vế bên phải

Vế phải của phương trình:

\[
(2x - 6)^2 + 2 \geq 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{10}{(2x - 6)^2 + 2} \leq 5
\]

Vậy, vế bên phải không thể âm. Do đó, ta có:

\[
\frac{10}{(2x - 6)^2 + 2} - 5 \geq -5
\]

\[
\Rightarrow \frac{10 - 5\left((2x - 6)^2 + 2\right)}{(2x - 6)^2 + 2} \geq 0
\]

### Bước 3: Tính giá trị cho \(x\)

Giả sử \(t = (2x - 6)^2 + 2\), ta có \(t \geq 2\).

Tìm giới hạn khi vế phải bằng 0:

\[
10 - 5t = 0 \Rightarrow t = 2
\]

### Bước 4: Xác định điều kiện cho \(x\)

Do \(t\) là bình phương, có nghĩa là \((2x - 6)^2 = 0\) khi \(x = 3\).

Giá trị khác sẽ được kiểm tra khi thay \(x\) vào:

- Từ \(t = 2\), ta có:

\[
|y + 3| = 0 \Rightarrow y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3
\]

### Bước 5: Tìm cặp \((x, y)\)

Ta có cặp đầu tiên:

\[
(x, y) = (3, -3)
\]

### Bước 6: Tính các giá trị khác

Đối với các giá trị khác của \(x\), thay vào:

1. \(x = 4\), \(x = 2\)
- Cùng kiểm tra với các giá trị của \(y\).

Giá trị bên trái sẽ không khác 0 và phải sẽ có giá trị xác định phụ thuộc vào \(x\).

Sau khi kiểm tra tất cả các cặp \((x, y)\), chúng ta chỉ tìm được cặp \((3, -3)\) thỏa mãn phương trình.

### Kết luận

Cặp số nguyên \((x, y)\) duy nhất thỏa mãn phương trình là:

\[
\boxed{(3, -3)}
\]