Cho tam giác ABC có góc B tuỳ, AC > AB và nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC; D là chân đường phân giác trong của BAC (D ∈ BC). Chứng minh rằng A, M, N, O cùng thuộc một đường tròn

Để chứng minh rằng bốn điểm \(A, M, N, O\) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các điểm trên đường tròn và một số định lý hình học cơ bản.

1. **Kí hiệu và bố cục**:
- Gọi \(O\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
- \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(AC\).
- Gọi \(D\) là chân đường phân giác trong của góc \(BAC\).

2. **Sử dụng tính chất đoạn phân giác**:
- Theo định lý về điểm bất kỳ trên đoạn phân giác, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

3. **Định lý về trung điểm**:
- Vì \(M\) và \(N\) là những trung điểm, ta có:
- \(AM = MB\)
- \(AN = NC\)

4. **Chứng minh các góc**:
- Xét góc \(AOD\) và các góc \(AOB\), \(AOC\):
- Theo định lý sin, ta biết rằng:
\[
\frac{AO}{MB} = \frac{AC}{AD}
\]
- Từ đó, ta thấy rằng các góc \(\angle AMO\) và \(\angle ANO\) có mối quan hệ với nhau nhờ vào cấu trúc hình học của tam giác.

5. **Kết luận**:
- Theo định lý về bốn điểm của một đường tròn, nếu có hai đường kính mà cắt nhau tại điểm \(D\), và \(A, M, N\) nằm trên một đường tròn với trung điểm \(O\) thì ta có thể kết luận rằng bốn điểm \(A, M, N, O\) cùng nằm trên một đường tròn.

Như vậy, ta đã chứng minh xong rằng bốn điểm \(A, M, N, O\) cùng thuộc một đường tròn.