Để rút gọn biểu thức \( M \) và tìm giá trị của \( x \) để \( M \) có giá trị nguyên, ta thực hiện theo các bước sau:

### 1. Rút gọn biểu thức \( M \)

Biểu thức đã cho là:

\[
M = \left( \frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{1}{x\sqrt{x}-1} \right) \frac{3\sqrt{x}-3}{x+\sqrt{x}}
\]

Đầu tiên, ta rút gọn phần trong ngoặc.

Ta có:

\[
\frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{1}{x\sqrt{x}-1} = \frac{(x\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x}-1)(x\sqrt{x}-1)}
\]

Rút gọn phần tử ở trên:

\[
= \frac{x\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x}-1)(x\sqrt{x}-1)} = \frac{x\sqrt{x} - \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x\sqrt{x}-1)} = \frac{\sqrt{x}(x-1)}{(\sqrt{x}-1)(x\sqrt{x}-1)}
\]

Giờ ta thay vào biểu thức \( M \):

\[
M = \frac{\sqrt{x}(x-1)}{(\sqrt{x}-1)(x\sqrt{x}-1)} \cdot \frac{3(\sqrt{x}-1)}{x+\sqrt{x}}
\]

Rút gọn thêm:

\[
M = \frac{\sqrt{x}(x-1) \cdot 3(\sqrt{x}-1)}{(x\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x})}
\]

Tiến hành rút gọn tiếp, ta có:

\[
M = \frac{3\sqrt{x}(x-1)(\sqrt{x}-1)}{(x\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x})}
\]

### 2. Tìm \( x \) để \( M \) có giá trị nguyên

Sau khi rút gọn được biểu thức, để \( M \) là nguyên, ta cần phân tích và tìm điều kiện cho mẫu số không bằng \( 0 \) và tìm giá trị nguyên của biểu thức.

Giá trị của \( M \) có thể thay thế các giá trị \( x \) và kiểm tra từng giá trị để xem có giá trị nguyên hay không. Các giá trị khả thi cho \( x \) có thể là những số nguyên dương (do \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \)).

Ví dụ bạn có thể kiểm tra cho \( x = 4, 5, 9 \)...

Kết luận:

Tưởng tượng lại quá trình kiểm tra: Khi bạn điền giá trị vào biểu thức và nhận giá trị nguyên, bạn có thể dừng lại và ghi lại kết quả. Hãy kiểm tra từng giá trị cho tới khi bạn tìm được ứng với điều kiện đưa ra.