Để chứng minh tứ giác \(MNDE\) có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và trung điểm.

1. **Tính chất trung điểm**:
- \(M\) là trung điểm của \(B\), \(N\) là trung điểm của \(C\).
- Do đó, ta có \(MB = MC\) và \(NB = NC\).

2. **Tam giác tương ứng**:
- Từ tam giác \(ABC\), chúng ta có các đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\), do đó \(G\) là điểm cắt nhau.
- Ta biết rằng \(D\) và \(E\) cũng là hai điểm trên các cạnh \(AC\) và \(AB\).

3. **Chứng minh các cặp cạnh đối song song**:
- Xem xét hai tam giác \(BGC\) và \(MGN\):
- Ta có \(MG \parallel BC\) (do \(M\) trung điểm của \(B\) và \(G\) là điểm trên đường trung tuyến),
- Tương tự, \(NG \parallel AC\).
- Vậy nên, \(MN \parallel DE\).

4. **Chứng minh các cặp cạnh đối bằng nhau**:
- Do \(M\) và \(N\) là các trung điểm, nên ta có:
- \(MB = MC\) và \(NB = NC\) (từ tính chất trung điểm).
- Điều này dẫn đến \(MN = DE\).

5. **Kết luận**:
- Từ những lập luận trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác \(MNDE\) có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau:
\[
MN \parallel DE \quad \text{và} \quad MD \parallel NE
\]
\[
MN = DE \quad \text{và} \quad MD = NE.
\]

Vì vậy, tứ giác \(MNDE\) là hình thoi (hoặc hình bình hành), có các cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.