Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành phân tích phương trình:

\[
\sqrt{x^2 + 4x + m} = \sqrt{-x^2 + 2x + 8}
\]

Đầu tiên, để phương trình có nghiệm, cả hai vế bên phải và bên trái của dấu "=" phải không âm. Do đó, ta cần điều kiện:

1. \(x^2 + 4x + m \geq 0\)
2. \(-x^2 + 2x + 8 \geq 0\)

Khi bình phương cả hai vế, ta có:

\[
x^2 + 4x + m = -x^2 + 2x + 8
\]

Dễ dàng chuyển tất cả các hạng tử về một phía để nhận được phương trình:

\[
2x^2 + 2x + (m - 8) = 0
\]

Để phương trình bậc 2 này có nghiệm, discriminant (Δ) của nó cần phải không âm. Tính Δ:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m - 8)
\]
\[
\Delta = 4 - 8(m - 8) = 4 - 8m + 64 = 68 - 8m
\]

Để phương trình có nghiệm, ta cần:

\[
\Delta \geq 0
\]
\[
68 - 8m \geq 0
\]

Giải bất đẳng thức này:

\[
68 \geq 8m
\]
\[
m \leq \frac{68}{8} = 8.5
\]

Ngoài ra, còn cần đảm bảo điều kiện không âm cho các biểu thức trong căn.

**Điều kiện 1:** \(x^2 + 4x + m \geq 0\)

Để đảm bảo bất phương trình này luôn đúng, bậc hai này cần có giá trị nhỏ nhất không âm. Tính giá trị nhỏ nhất:

Đỉnh của hàm bậc hai \(x^2 + 4x + m\) là tại \(x = -\frac{4}{2} = -2\):

\[
f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + m = 4 - 8 + m = m - 4
\]

Để đảm bảo \(f(-2) \geq 0\), ta cần:

\[
m - 4 \geq 0 \Rightarrow m \geq 4
\]

**Điều kiện 2:** \(-x^2 + 2x + 8 \geq 0\)

Giải phương trình bậc hai:

\[
-x^2 + 2x + 8 = 0
\]

Tính Δ:

\[
\Delta = 2^2 - 4(-1)(8) = 4 + 32 = 36
\]

Nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{-2} = \{4, -2\}
\]

Bất phương trình \(-x^2 + 2x + 8 \geq 0\) có nghiệm trên khoảng \([-2, 4]\).

Khi đó, các điều kiện đã được thiết lập là:

- \(m \leq 8.5\)
- \(m \geq 4\)

Từ đó, ta rút ra kết luận:

\[
4 \leq m \leq 8.5
\]

Vậy giá trị của \(m\) cần tìm để phương trình có nghiệm là:

\[
\boxed{[4, 8.5]}
\]